Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 1

Übungsaufgaben

Aufgabe

Skizziere die Menge

${\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid 3\leq \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\leq 5,\,2\leq \operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\leq 3\right\}}.$

Aufgabe *

a) Berechne

$(4-7{\mathrm {i} })(5+3{\mathrm {i} }).$

b) Bestimme das inverse Element ${}z^{-1}$ zu

${}z=3+4{\mathrm {i} }\,.$

c) Welchen Abstand hat ${}z^{-1}$ aus Teil (b) zum Nullpunkt?

Aufgabe

Es sei ${}A:=\{z\in {\mathbb {C} }:\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}\geq (\operatorname {Re} \,{\left(z\right)})^{2}+1\}\subset {\mathbb {C} }$. Zeige die folgende Aussage: Sind ${}z_{1},z_{2}\in A$ und ist ${}\lambda \in [0,1]$, so ist auch ${}\lambda z_{1}+(1-\lambda )z_{2}\in A$.

Aufgabe

Es seien ${}n$ komplexe Zahlen ${}z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n}$ in der Kreisscheibe ${}B$ mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und Radius ${}1$, also in ${}B={\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \vert {z}\vert \leq 1\right\}}$, gegeben. Zeige, dass es einen Punkt ${}w\in B$ mit der Eigenschaft

${}\sum _{i=1}^{n}\vert {z_{i}-w}\vert \geq n\,$

gibt.

Der Graph einer komplexen Funktion

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {C} },$

${}D\subseteq {\mathbb {C} }$, ist schwer zu skizzieren, da er ja eine Teilmenge von ${}{\mathbb {C} }\times {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{4}$ ist. Als Ersatz skizziert man dann manchmal den Graphen der zugehörigen Betragsfunktion

$D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {f(z)}\vert .$

Eine andere Möglichkeit ist, den Realteil und/oder den Imaginarteil der Funktion zu skizzieren.

Aufgabe

Skizziere den Graphen der folgenden Funktionen.

1. ${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z}\vert .$

2. ${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z^{2}}\vert .$

3. ${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {\frac {1}{z}}\vert .$

Aufgabe

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Funktion, die ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ abbildet. Die Funktion sei in ${}a\in \mathbb {R}$ (als komplexe Funktion) differenzierbar. Zeige, dass dann auch die reelle Funktion ${}f{|}_{\mathbb {R} }$ (als Funktion von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$) differenzierbar ist (und zwar mit der gleichen Ableitung).

Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Betragsfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Aufgabe *

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen über die Funktionslimiten für die Differenzenquotienten.

Aufgabe

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und seien

$f_{i}\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,i=1,\ldots ,n,$

differenzierbare Funktionen. Beweise die Formel

${}(f_{1}{\cdots }f_{n})'=\sum _{i=1}^{n}f_{1}{\cdots }f_{i-1}f_{i}'f_{i+1}{\cdots }f_{n}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein Polynom, ${}a\in {\mathbb {C} }$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass ${}P$ genau dann ein Vielfaches von ${}(X-a)^{n}$ ist, wenn ${}a$ eine Nullstelle sämtlicher Ableitungen ${}P,P^{\prime },P^{\prime \prime },\ldots ,P^{(n-1)}$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nullstellenfreie komplex differenzierbare. Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion mit

${}f(z)=(g(z))^{k}\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Zeige

${}g'(z)={\frac {1}{k}}\cdot {\frac {1}{(g(z))^{k-1}}}\cdot f'(z)\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}z^{i}\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom mit ${}a_{n}\neq 0$. Wir setzen ${}a:={\max {\left(\vert {a_{i}}\vert ,i=0,\ldots ,n-1\right)}}$ und ${}r:={\max {\left({\frac {na+\vert {a_{0}}\vert +1}{\vert {a_{n}}\vert }},1\right)}}$. Zeige, dass

${}\vert {P(z)}\vert \geq 1\,$

für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$ mit

${}\vert {z}\vert \geq r\,$

gilt.

Aufgabe

Berechne die Hintereinanderschaltungen ${}f\circ g$ und ${}g\circ f$ der beiden rationalen Funktionen

$f(x)={\frac {2x^{2}-4x+3}{x-2}}\,\,{\text{ und }}\,\,g(x)={\frac {x+1}{x^{2}-4}}.$

Aufgabe

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.

Aufgabe

Es sei

$F\colon D\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine rationale Funktion. Zeige, dass ${}F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine (höhere) Ableitung mit ${}F^{(n)}=0$ gibt.

Aufgabe

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

${\frac {X}{(X-1)(X-{\mathrm {i} })(X+2{\mathrm {i} })}}.$

Aufgabe

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{(X+1)(X-{\mathrm {i} })^{2}}}.$

Aufgabe

Finde eine Darstellung der rationalen Zahl ${}1/100$ als Summe von rationalen Zahlen, deren Nenner Primzahlpotenzen sind.

Aufgabe *

Es sei ${}f(x)={\frac {x^{2}-1}{x}}$ und ${}g(y)={\frac {y^{2}}{y-1}}$.

a) Bestimme die Ableitung von ${}f$ und von ${}g$.

b) Berechne die Hintereinanderschaltung ${}h(x)=g(f(x))$.

c) Bestimme die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von ${}h$ mittels der Kettenregel.

Aufgabe *

Bestimme die inverse Matrix zur Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {t}{t^{2}-1}}&{\frac {1}{t^{3}}}\\{\frac {t^{2}-4}{t}}&{\frac {t-1}{t+1}}\end{pmatrix}}$

(über dem Körper der rationalen Funktionen ${}\mathbb {R} (t)$).

Aufgabe

Zeige, dass es auf einer offenen Kreisscheibe unbeschränkte holomorphe Funktionen gibt.

Aufgabe

Zeige, dass die komplexe Invertierung

${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{-1},$

nicht gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass der Betrag

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe

Wir versuchen, für eine jede komplexe Zahl ${}z$ eine eindeutige Quadratwurzel festzulegen, indem wir aus den beiden Möglichkeiten ${}\pm {\sqrt {z}}$ diejenige Quadratwurzel auswählen, die einen positiven Realteil hat bzw. diejenige, falls der Realteil gleich ${}0$ ist, die einen nichtnegativen Imaginärteil hat. Zeige, dass die so definierte Funktion ${}{\sqrt {z}}$ an der Stelle ${}-1$ nicht stetig ist.

Tipp: Betrachte diese Funktion auf dem Einheitskreisbogen um ${}-1$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die komplexe Betragsfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \vert {z}\vert ,$

in keinem Punkt differenzierbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass im Funktionenkörper ${}K(X)$ die Gleichheit

${}{\frac {X^{r}-1}{X^{r}}}={\frac {X-1}{X}}+{\frac {X-1}{X^{2}}}+\cdots +{\frac {X-1}{X^{r-1}}}+{\frac {X-1}{X^{r}}}\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

${\frac {1}{X^{3}-1}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die komplexe Partialbruchzerlegung von

${\frac {X^{3}-{\mathrm {i} }X+1}{X^{2}(X^{2}+1)(X^{2}-1)}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}P/Q$ eine komplexe rationale Funktion derart, dass in der komplexen Partialbruchzerlegung alle ${}c_{j1}=0$ sind. Zeige, dass ${}P/Q$ eine Stammfunktion besitzt.

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