Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 2

Übungsaufgaben

Wir erinnern an die folgenden Definitionen.

Ein nichtleerer metrischer Raum ${}X$ heißt wegzusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten ${}x,y\in X$ eine stetige Abbildung

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow X$

mit ${}\gamma (a)=x$ und ${}\gamma (b)=y$ gibt.

Ein metrischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es genau zwei Teilmengen von ${}X$ gibt (nämlich ${}\emptyset$ und ${}X$ selbst), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Aufgabe

Zeige, dass der ${}\mathbb {R} ^{n}$ wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}n\geq 2$ und ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ ein Punkt. Zeige, dass ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P\}$ wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Es sei ${}T$ eine offene (oder abgeschlossene) Kugel im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Zeige, dass ${}T$ wegzusammenhängend ist.

Aufgabe

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in \mathbb {R} ^{2}$ endlich viele Punkte und sei ${}M=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$. Zeige, dass es zu je zwei Punkten ${}P,Q\in M$ eine differenzierbare Kurve

$\varphi \colon [0,1]\longrightarrow M$

mit ${}\varphi (0)=P$ und ${}\varphi (1)=Q$ gibt.

Aufgabe *

Zeige, dass ein wegzusammenhängender metrischer Raum zusammenhängend ist.

Aufgabe *

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge. Zeige, dass ${}U$ auch wegzusammenhängend ist.

Insbesondere braucht man bei einer offenen Teilmenge ${}D\subseteq {\mathbb {C} }$ nicht zwischen zusammenhängend und wegzusammenhängend zu unterscheiden.

Aufgabe

Zeige, dass

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3},$

eine bijektive differenzierbare Funktion ist, deren Umkehrabbildung nicht differenzierbar ist.

Aufgabe

Zeige, dass

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}+x,$

eine bijektive differenzierbare Funktion ist, die nicht affin-linear ist und deren Umkehrabbildung ebenfalls differenzierbar ist.

Aufgabe

Bestimme die Partialbruchzerlegung einer gebrochen-linearen Funktion.

Aufgabe *

Bestimme die Ableitungsfunktion einer gebrochen-linearen Funktion

${\mathbb {C} }\setminus \{-{\frac {d}{c}}\}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\frac {az+b}{cz+d}},$

(mit ${}ad-bc\neq 0$) und insbesondere die Ableitung (bei ${}d\neq 0$) im Nullpunkt.

Aufgabe *

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form ${}z\mapsto {\frac {z+c}{1+{\overline {c}}z}}$ mit ${}\vert {c}\vert <1$ die offene Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ in sich abbilden.

Aufgabe *

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen ${}z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}$, die den Rand der Einheitskreisscheibe auf sich abbilden, auf die Form

$\alpha \cdot {\frac {z+\beta }{{\overline {\beta }}z+1}}$

mit ${}\vert {\alpha }\vert =1$ und ${}\vert {\beta }\vert \neq 1$ gebracht werden können.

Aufgabe

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form ${}z\mapsto {\frac {az+b}{{\overline {b}}z+{\overline {a}}}}$ mit

${}\vert {a}\vert ^{2}-\vert {b}\vert ^{2}=1\,,$

eine Untergruppe der gebrochen-linearen Funktionen mit der Hintereinanderschaltung bilden.

Aufgabe

Zeige, dass die gebrochen-linearen Funktionen der Form ${}z\mapsto {\frac {az+b}{{\overline {b}}z+{\overline {a}}}}$ mit

${}\vert {a}\vert ^{2}-\vert {b}\vert ^{2}=1\,,$

die offene Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$ in sich abbilden.

Aufgabe *

Es sei ${}w\in U{\left(0,1\right)}$. Zeige, dass es eine gebrochen-lineare Funktion ${}g$ der Form ${}z\mapsto {\frac {az+b}{{\overline {b}}z+{\overline {a}}}}$ mit

${}\vert {a}\vert ^{2}-\vert {b}\vert ^{2}=1\,$

und mit ${}g(0)=w$ gibt.

Aufgabe

Es seien ${}P\neq Q$ komplexe Zahlen. Zeige, dass ${}{\mathbb {C} }\setminus \{P,Q\}$ und ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0,1\}$ zueinander biholomorph sind.

Aufgabe

Wir betrachten die abgeschlossene Kreisscheibe ${}B\left(0,2\right)\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ und darauf die Abbildung

$\varphi \colon B\left(0,2\right)\longrightarrow B\left(0,2\right),\,{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\pi &-\operatorname {sin} \,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\pi \\\operatorname {sin} \,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\pi &\operatorname {cos} \,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\pi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}.$

1. Zeige, dass ${}\varphi$ stetig ist.
2. Beschreibe die Wirkungsweise von ${}\varphi$ mit Worten.
3. Was sind die Fixpunkte von ${}\varphi$?
4. Wie ist die Wirkungsweise von ${}\varphi$ auf dem Einheitskreis?

Aufgabe

Es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ und ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}$ jeweils verschiedene Punkte in der reellen Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$. Skizziere einen Beweisansatz, dass ${}\mathbb {R} ^{2}\setminus \{P_{1},\ldots ,Q_{n}\}$ und ${}\mathbb {R} ^{2}\setminus \{Q_{1},\ldots ,Q_{n}\}$ zueinander homöomorph sind.

Dabei hilft Aufgabe 2.17.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus {\left\{z\in {\mathbb {C} }\mid \operatorname {Re} \,{\left(z\right)}\leq 0,\,\operatorname {Im} \,{\left(z\right)}=0\right\}},\,z\longmapsto -z^{2},$

eine biholomorphe Abbildung zwischen der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$ und der längs der negativen reellen Achse geschlitzten Ebene ist.

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen der Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$

und

$\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}}.$

Aufgabe

Zeige, dass die punktierte Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}\setminus \{0\}$ und der nach außen unbeschränkte Kreisring ${}{\mathbb {C} }\setminus B\left(0,1\right)$ biholomorph zueinander sind.

Aufgabe

Es sei ${}U(r,R)$ der offene Kreisring zu den Radien ${}0<r<R$ um den Nullpunkt. Zeige, dass die komplexe Invertierung eine biholomorphe Abbildung

$U(r,R)\longrightarrow U(R^{-1},r^{-1})$

induziert.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Menge der affin-linearen Abbildungen auf ${}{\mathbb {C} }$, also Abbildungen der Form ${}z\mapsto uz+v$ mit ${}u,v\in {\mathbb {C} }$, mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen, eine nichtkommutative Gruppe ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine gebrochen-lineare Funktion auf ${}{\mathbb {C} }$ durch eine Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ mit Determinante ${}1$ repräsentiert werden kann.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass die Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$

und

$\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}},$

zueinander invers sind unter Verwendung von Lemma 2.5.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}L$ eine reelle Gerade in ${}{\mathbb {C} }$ und sei ${}E\subseteq {\mathbb {C} }$ eine der dadurch definierten offenen Halbebenen. Stifte eine biholomorphe Abbildung zwischen ${}E$ und der oberen Halbebene ${}{\mathbb {H} }$.

Aufgabe (5 (1+4) Punkte)

1. Charakterisiere, wann ein Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ eine injektive Abbildung

   $P\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   definiert.

2. Charakterisiere, wann eine rationale Funktion ${}P/Q$ eine injektive Abbildung

   $P/Q\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   definiert (wobei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ der maximale Definitionsbereich sei).

Verwende den Fundamentalsatz der Algebra