Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 3
- Übungsaufgaben
Es seien und komplexe Vektorräume und es sei
eine Abbildung. Zeige, dass genau dann - antilinear ist, wenn für alle gilt.
Bestimme den linearen und den antilinearen Anteil der folgenden reell-linearen Abbildungen.
- Die
komplexe Konjugation
- Der
Realteil
- Der
Imaginärteil
- Die
Identität
Es seien und komplexe Vektorräume und es sei
eine reell-lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann die Nullabbildung ist, wenn sie sowohl komplex-linear als auch - antilinear ist
Es sei ein - Vektorraum und es seien
und
antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung linear ist.
Es seien Vektorräume über , es seien
lineare oder antilineare Abbildungen und es sei
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen. Zeige durch Induktion über die beiden folgenden Aussagen.
- Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist linear.
- Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist antilinear.
Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?
Bestimme die Zerlegung in den -linearen und den - antilinearen Anteil der - linearen Abbildung , die bezüglich der reellen Basis und durch die Matrix beschrieben wird.
- Drücke die Abbildungen
für in reellen Koordinaten aus.
- Drücke die Abbildungen
für in reellen Koordinaten aus.
Drücke die Abbildung
in reellen Koordinaten aus. Berechne das reelle totale Differential dieser Abbildung.
Bestimme die partiellen Ableitungen der Abbildung
Beschreibe eine gebrochen-lineare Funktion als eine reelle Funktion von (einer offenen Teilmenge von) nach .
Wir betrachten die Funktion
- Bestimme das totale Differential von bezüglich der Basis und in einem beliebigen Punkt .
- Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials in den -linearen und den - antilinearen Anteil.
Wir betrachten die Funktion
- Bestimme das totale Differential von bezüglich der Basis und in einem beliebigen Punkt .
- Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials in den -linearen und den - antilinearen Anteil.
Betrachte die Abbildung
welche in reellen Koordinaten durch gegeben ist. Berechne das reelle totale Differential und überprüfe, ob die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen gelten.
Es sei
eine komplex differenzierbar Funktion mit der Eigenschaft, dass der Wertebereich reell ist. Zeige, dass konstant ist.
Wir betrachten die reell total differenzierbare Abbildung
Bestimme die Punkte, in denen komplex differenzierbar ist.
Charakterisiere diejenigen komplex differenzierbaren Abbildungen
mit der Eigenschaft, dass
für alle gilt.
Charakterisiere diejenigen zweifach komplex differenzierbaren Abbildungen
die flächentreu sind (das bedeutet, dass die Determinante der reellen Jacobimatrix konstant gleich ist).
Es sei eine komplex differenzierbare Funktion auf einer offenen Teilmenge mit der Zerlegung . Zeige, dass die Funktionaldeterminante der reellen Jacobimatrix zu nur von abhängt.
Es sei eine komplex differenzierbare Funktion auf einer offenen Teilmenge mit der Zerlegung . Zeige, dass die Funktionaldeterminante der reellen Jacobimatrix zu nur von abhängt.
Zeige, dass man in Korollar 3.8 nicht auf die Voraussetzung, dass ein Gebiet ist, verzichten kann.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Betrachte die komplex-lineare Abbildung , die durch die -Matrix
gegeben ist. Bestimme die zugehörige Matrix, welche die gleiche lineare Abbildung beschreibt.
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und Vektorräume über den komplexen Zahlen , es sei endlichdimensional und es sei , , eine Basis von . Es seien , , Elemente in . Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte - antilineare Abbildung
mit
gibt.
Aufgabe (3 Punkte)
Es seien und Vektorräume über den komplexen Zahlen und es bezeichne die Menge der reell-linearen Abbildungen, die Menge der komplex-linearen Abbildungen und die Menge der antilinearen Abbildungen. Zeige, dass die Abbildungen
und
die eine reell-lineare Abbildung auf ihren -linearen bzw. -antilinearen Anteil abbilden, reell-linear sind.
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass es eine (reell) stetig differenzierbare Abbildung
derart gibt, dass das Bild von gleich der eindimensionalen Sphäre ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Wir betrachten die reell total differenzierbare Abbildung
Bestimme die Punkte, in denen komplex-differenzierbar ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft
für alle . Zeige, dass eine Drehung um den Nullpunkt ist.
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