Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 3

Semilineare Abbildungen

Jeder komplexe Vektorraum ist insbesondere ein reeller Vektorraum, und jede komplex-lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen ist insbesondere reell-linear. Die komplexe Konjugation

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z=a+b{\mathrm {i} }\longmapsto {\overline {}}=a-b{\mathrm {i} },$

ist reell-linear, aber nicht komplex-linear.

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$. Eine Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

heißt antilinear (oder semilinear), wenn

${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)\,$

für alle ${}u,v\in V$ und wenn

${}\varphi (\lambda v)={\overline {\lambda }}\varphi (v)\,$

für alle ${}v\in V$ und ${}\lambda \in \mathbb {C}$ gilt.

Die Antilinearität von ${}\varphi$ kann man auch so ausdrücken, dass ${}\varphi$ reell-linear ist und dass ${}\varphi ({\mathrm {i} }v)=-{\mathrm {i} }\varphi (v)$ für alle ${}v\in V$ gilt, siehe Aufgabe 3.1.

Lemma

Es seien ${}V$ und ${}W$ komplexe Vektorräume.

Dann lässt sich jede ${}\mathbb {R}$- lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eindeutig als ${}\varphi =\psi +\theta$ mit einer ${}{\mathbb {C} }$-linearen Abbildung ${}\psi$ und einer ${}{\mathbb {C} }$- antilinearen Abbildung ${}\theta$ schreiben.

Beweis

Wir setzen

${}\psi ={\frac {1}{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}\,$

und

${}\theta ={\frac {1}{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}\,,$

wobei ${}{\mathrm {i} }$ hier jeweils als Multiplikation mit ${}{\mathrm {i} }$ zu verstehen ist. Offenbar ist ${}\varphi =\psi +\theta$, die ${}\mathbb {R}$-Linearität der beiden Abbildungen ist ebenfalls klar. Die Linearität bzw. Antilinearität ist nur noch für die skalare Multiplikation mit ${}{\mathrm {i} }$ nachzuweisen. Es ist einerseits

${}{\begin{aligned}\psi ({\mathrm {i} }v)&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)-{\left({\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)+{\mathrm {i} }\cdot \varphi (v)\right)}\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi (v)-{\mathrm {i} }\cdot \varphi ({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi -{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}(v)\\&={\mathrm {i} }\psi (v)\end{aligned}}$

und andererseits

${}{\begin{aligned}\theta ({\mathrm {i} }v)&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)+{\left({\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}({\mathrm {i} }v)\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left(\varphi ({\mathrm {i} }v)-{\mathrm {i} }\cdot \varphi (v)\right)}\\&=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi (v)+{\mathrm {i} }\cdot \varphi ({\mathrm {i} }v)\right)}\\&=-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\left(\varphi +{\mathrm {i} }\circ \varphi \circ {\mathrm {i} }\right)}(v)\\&=-{\mathrm {i} }\theta (v).\end{aligned}}$

Zum Nachweis der Eindeutigkeit sei ${}\varphi =\psi +\theta =\psi '+\theta '$. Dann ist

${}\psi -\psi '=\theta -\theta '\,$

sowohl ${}{\mathbb {C} }$-linear als auch ${}{\mathbb {C} }$-antilinear, also nach Aufgabe 3.4 die Nullabbildung.

$\Box$

In der obigen Aussage nennt man ${}\psi$ den ${}\mathbb {C}$-linearen Anteil von ${}\varphi$ und ${}\theta$ den ${}\mathbb {C}$-antilinearen Anteil von ${}\varphi$. Insbesondere ist eine reell-lineare Abbildung genau dann ${}\mathbb {C}$-linear, wenn ihr antilinearer Anteil gleich ${}0$ ist.

Bemerkung  

Reell-lineare Abbildung von ${}{\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ auf sich selbst werden bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ durch eine ${}2\times 2$-Matrix ${}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}$ beschrieben. Die Zerlegung im Sinne von Lemma 3.2 ist

${}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}r+u&-t+s\\t-s&r+u\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}r-u&t+s\\t+s&-r+u\end{pmatrix}}\,.$

Die Matrix ist genau dann komplex-linear, wenn sie die Form

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

besitzt, wenn also eine Multiplikation mit der komplexen Zahl ${}a+b{\mathrm {i} }$ vorliegt, und komplex-antilinear genau dann, wenn sie die Form

${\begin{pmatrix}a&b\\b&-a\end{pmatrix}}$

besitzt.

Die totale Differenzierbarkeit

Wir erinnern an die totale Differenzierbarkeit.

Definition

Es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Menge und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung. Dann heißt ${}\varphi$ differenzierbar (oder total differenzierbar) im Punkt ${}P\in G$, wenn es eine ${}{\mathbb {K} }$- lineare Abbildung ${}L\colon V\rightarrow W$ mit der Eigenschaft

${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+L(v)+\Vert {v}\Vert r(v)\,$

gibt, wobei ${}r\colon U{\left(0,\delta \right)}\rightarrow W$ eine in ${}0$ stetige Abbildung mit ${}r(0)=0$ ist und die Gleichung für alle ${}v\in V$ mit ${}P+v\in U{\left(P,\delta \right)}\subseteq G$ gilt.

Diese lineare Abbildung ${}L$ heißt, falls sie existiert, das (totale) Differential von ${}\varphi$ an der Stelle ${}P$ und wird mit

$\left(D\varphi \right)_{P}$

bezeichnet.

Wenn ${}V={\mathbb {K} }^{n}$ und ${}W={\mathbb {K} }^{m}$ liegt bei stetiger partieller Differenzierbarkeit nach Satz 46.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) auch totale Differenzierbarkeit vor, und das totale Differential in einem Punkt ${}P\in G={\mathbb {K} }^{n}$ wird dann durch die Jacobimatrix

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}$

beschrieben. Dies werden wir hauptsächlich für ${}V=W={\mathbb {C} }$, aufgefasst als zweidimensionalen reellen Vektorraum mit der Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$, anwenden.

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

Die komplexen Zahlen bilden einen zweidimensionalen reellen Vektorraum mit der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$. Entsprechend kann man eine auf einer (zumeist offenen) Teilmenge ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ definerte Funktion ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ auch als eine Abbildung ${}G\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ auffassen und die komplexe Differenzierbarkeit in der einen Variablen ${}z$ mit der reellen partiellen Differenzierbarkeit der beiden Komponentenfunktionen bezüglich der reellen Koordinaten ${}x$ und ${}y$ in Beziehung setzen. Beispielsweise ist das komplexe Quadrieren in reellen Koordinaten die Abbildung

$\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2},\,z=x+y{\mathrm {i} }\longmapsto z^{2}=x^{2}-y^{2}+2xy{\mathrm {i} },$

bzw., direkt in Spaltenschreibweise,

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x^{2}-y^{2}\\2xy\end{pmatrix}}.$

Die Bedingungen in der folgenden Aussage heißen die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.

Satz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt ${}P\in G$ reell total differenzierbare Abbildung. Es sei ${}f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Sei ${}z=x+{\mathrm {i} }y$.

Dann ist ${}f$ genau dann in ${}P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen

${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$

gelten.

Beweis

Die reelle Jacobi-Matrix von ${}(x,y)\mapsto (g(x,y),h(x,y))$ im Punkt ${}P$ ist

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}.$

Diese beschreibt eine reell-lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ und die komplexe Differenzierbarkeit bedeutet, dass sie auch komplex-linear ist. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl ${}a+b{\mathrm {i} }$ wird reell durch die Matrix

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

beschrieben, und die Bedingungen im Satz beschreiben genau diese Beziehungen.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x^{2}-y^{2}\\2xy\end{pmatrix}},$

die dem komplexen Quadrieren entspricht. Die Jacobi-Matrix davon ist

${\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}}.$

Diese erfüllt die Symmetriebedingungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in jedem Punkt, die ja nach Satz 3.5 für jede komplex-differenzierbare Abbildung gelten müssen.

Beispiel

Wir betrachten die differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x^{2}+y^{2}\\2xy\end{pmatrix}},$

die dem komplexen Quadrieren entspricht. Die Jacobi-Matrix davon ist

${\begin{pmatrix}2x&2y\\2y&2x\end{pmatrix}}.$

Diese erfüllt von den beien Symmetriebedingungen der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen nur die eine, dass in der Hauptdiagonalen die gleichen Werte stehen, während die Werte in der Gegendiagonalen nicht negativ zueinander sind. Nach Satz 3.5 kann diese Abbildung also nicht von einer komplex-differenzierbaren Abbildung

$\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C}$

herrühren. Allerdings liegt für die Punkte mit ${}y=0$ komplexe Differenzierbarkeit vor.

Korollar

Es sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex-differenzierbare Funktion auf einem Gebiet ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$. Es sei die Betragsfunktion ${}\vert {f(z)}\vert$ konstant auf ${}G$.

Dann ist ${}f$ selbst konstant.

Beweis

Wenn ${}\vert {f}\vert =0$ ist, so ist die Aussage klar. Sei die Konstante also ${}\neq 0$. Es ist dann

${}f\cdot {\overline {f}}=\vert {f}\vert ^{2}=c\neq 0\,.$

Daher ist ${}{\overline {f}}$ bis auf einen skalaren Faktor die Invertierung von ${}f$ und daher nach Lemma 1.7 ebenfalls komplex-differenzierbar. Wir schreiben ${}f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen differenzierbaren Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Dabei ist ${}{\overline {f}}=g-{\mathrm {i} }h$. Nach Satz 3.5 ist einerseits

${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$

und andererseits

${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)={\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}-{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$

für jeden Punkt ${}P\in G$. Aus

${}{\frac {\partial g}{\partial y}}={\frac {\partial h}{\partial x}}=-{\frac {\partial h}{\partial x}}\,$

folgt

${}{\frac {\partial h}{\partial x}}={\frac {\partial g}{\partial y}}=0\,$

und aus

${}{\frac {\partial g}{\partial x}}={\frac {\partial h}{\partial y}}=-{\frac {\partial h}{\partial y}}\,$

folgt

${}{\frac {\partial h}{\partial y}}={\frac {\partial g}{\partial x}}=0\,.$

Dies bedeutet, dass ${}g$ und ${}h$ konstant sind.

$\Box$

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