Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 4

Holomorphe und antiholomorphe Ableitung

Bei einer reell differenzierbaren Abbildung

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

ist das totale Differential in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$ eine reell-lineare Abbildung

$\left(Df\right)_{P}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }.$

Diese wird zumeist durch eine Matrix bezüglich der reellen Standardbasis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ beschrieben. Nach Lemma 3.2 kann man jede reell-lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen in eindeutiger Weise als eine Summe einer komplex-linearen und einer komplex-antilinearen Abbildung schreiben. Im Fall der reellen Differenzierbarkeit definiert man daher die folgenden Konzepte.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ offen und sei

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man

${}{\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,$

die holomorphe Ableitung von ${}f$.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }\cong \mathbb {R} ^{2}$ offen und sei

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Dann nennt man

${}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,$

die antiholomorphe Ableitung von ${}f$.

Es gilt dann

${}{\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,$

und

${}{\frac {\partial f}{\partial y}}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\right)}\,.$

Es handelt bei der holomorphen und der antiholomorphen Ableitung um komplexe Linearkombinationen der reellen partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}$ und ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}$. Man kann sie bereits dann definieren, wenn ${}f$ partiell differenzierbar ist.

Beispiel

Es ist

${}{\frac {\partial z}{\partial z}}={\frac {\partial (x+{\mathrm {i} }y)}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial (x+{\mathrm {i} }y)}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial (x+{\mathrm {i} }y)}{\partial y}}={\frac {1}{2}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\mathrm {i} }=1\,$

und

${}{\frac {\partial {\overline {z}}}{\partial z}}={\frac {\partial (x-{\mathrm {i} }y)}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial (x-{\mathrm {i} }y)}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial (x-{\mathrm {i} }y)}{\partial y}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\mathrm {i} }=0\,.$

Analoge Eigenschaften gelten für die antiholomorphe Ableitung von ${}z$ und ${}{\overline {z}}$, siehe Aufgabe 4.1.

Korollar

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung.

Genau dann ist ${}f$ auf ${}G$ komplex differenzierbar, wenn ${}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0$ auf ${}G$ gilt.

In diesem Fall ist

${}f'={\frac {\partial f}{\partial z}}\,.$

Beweis

Wir schreiben ${}f=g+h{\mathrm {i} }$ mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Es ist ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}$ und ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\right)}$. Somit ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial h}{\partial y}}+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial h}{\partial x}}+{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

Die Bedingungen in Satz 3.5 für die komplexe Differenzierbarkeit besagen gerade, dass die beiden Komponentenfunktionen gleich ${}0$ sind. Es ist generell

${}{\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}\,.$

Unter der Voraussetzung verschwindet der vordere zweite Summand. Daher ist ${}{\frac {\partial f}{\partial z}}(P)$ gleich der ersten Spalte der Jacobi-Matrix, und diese ist ${}f'(P)$.

$\Box$

Wenn man für eine reell-differenzierbare Funktion ${}f=g+{\mathrm {i} }h$ zerlegt, so ist (vergleiche Bemerkung 3.3)

${}{\begin{aligned}\left(Df\right)_{P}&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(P),\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(P)\right)\\&={\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)&-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)&-{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

die Zerlegung des totales Differentials bzw. der Jacobi-Matrix in ${}{\mathbb {C} }$-lineare und antilineare Matrizen. Dabei ist ${}f$ genau dann holomorph, wenn die zweite Matrix zur Nullmatrix wird.

Lemma

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die holomorphe Ableitung ${}{\frac {\partial }{\partial z}}$ folgende Regeln.

1. Es ist

   ${}{\frac {\partial (cf)}{\partial z}}=c{\frac {\partial f}{\partial z}}\,$

   für eine Konstante ${}c\in {\mathbb {C} }$.

2. Es ist

   ${}{\frac {\partial (f+g)}{\partial z}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial g}{\partial z}}\,.$

3. Es ist

   ${}{\frac {\partial (fg)}{\partial z}}=f{\frac {\partial g}{\partial z}}+g{\frac {\partial f}{\partial z}}\,.$

4. Es ist

   ${}{\frac {\partial {\frac {f}{g}}}{\partial z}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial z}}-f{\frac {\partial g}{\partial z}}}{g^{2}}}\,$

   auf dem nullstellenfreien Ort zu ${}g$.

Beweis

(1) für reelles ${}c$ und (2) folgen aus den entsprechenden Regeln für die partiellen Ableitungen ${}{\frac {\partial }{\partial x}}$ und ${}{\frac {\partial }{\partial y}}$ gemäß Lemma 43.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Für komplexes ${}c$ muss man zusätzlich die Zerlegung ${}f=h+g{\mathrm {i} }$ heranziehen. Zum Beweis von (3) verwenden wir die Produktregel für die beiden partielle Ableitungen, also

${}{\frac {\partial (fg)}{\partial x}}=f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}\,$

und

${}{\frac {\partial (fg)}{\partial y}}=f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\,,$

die in dieser Form auf Aufgabe 4.2 beruht. Somit ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial (fg)}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial fg}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial fg}{\partial y}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\left(f{\frac {\partial g}{\partial x}}+g{\frac {\partial f}{\partial x}}\right)}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\left(f{\frac {\partial g}{\partial y}}+g{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&=f{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}+g{\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&=f{\frac {\partial g}{\partial z}}+g{\frac {\partial f}{\partial z}}.\end{aligned}}$

Für die Quotientregel siehe Aufgabe 4.4.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Dann erfüllt die antiholomorphe Ableitung ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ folgende Regeln.

1. Es ist

   ${}{\frac {\partial (cf)}{\partial {\overline {z}}}}=c{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,$

   für eine Konstante ${}c\in {\mathbb {C} }$.

2. Es ist

   ${}{\frac {\partial (f+g)}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}\,.$

3. Es ist

   ${}{\frac {\partial (fg)}{\partial {\overline {z}}}}=f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}+g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,.$

4. Es ist

   ${}{\frac {\partial {\frac {f}{g}}}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}-f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}}{g^{2}}}\,$

   auf dem nullstellenfreien Ort zu ${}g$.

Beweis

1. Siehe Aufgabe 4.5.
2. Siehe Aufgabe 4.6.
3. Siehe Aufgabe 4.7.
4. Siehe Aufgabe 4.18.

$\Box$

Winkeltreue lineare Abbildungen

Für von ${}0$ verschiedene Vektoren ${}v$ und ${}w$ in einem euklidischen Vektorraum ${}V$ folgt aus der der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass

${}-1\leq {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\leq 1\,$

ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus (als bijektive Abbildung ${}[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]$) bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch

${}\angle (v,w):=\arccos {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\,.$

Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen ${}0$ und ${}\pi$. Für ${}V=\mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2}$ mit dem reellen Standardskalarprodukt ist

${}\left\langle a+b{\mathrm {i} },c+d{\mathrm {i} }\right\rangle =ac+bd\,$

und somit ist der Winkel zwischen ${}v=a+b{\mathrm {i} }$ und ${}w=c+d{\mathrm {i} }$ gleich

${}\angle (v,w):=\arccos {\frac {ac+bd}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot {\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}}=\arccos {\frac {\operatorname {Re} \,{\left(v\cdot {\overline {w}}\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}\,.$

Definition

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen euklidischen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ heißt winkeltreu, wenn für je zwei Vektoren ${}u,v\in V$ die Beziehung

${}\angle (\varphi (u),\varphi (v))=\angle (u,v)\,$

gilt.

Da Winkel nur für von ${}0$ verschiedene Vektoren definiert sind, müssen winkeltreue Abbildungen injektiv sein. Eine Isometrie ist insbesondere winkeltreu, da ja sowohl die Norm als auch der Winkel unter Bezug auf das Skalarprodukt definiert werden und dieses sich bei einer Isometrie nicht ändert. Weitere Beispiele für winkeltreue Abbildungen sind Streckungen um einen von ${}0$ verschiedenen Streckungsfaktor, siehe Aufgabe 35.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)). Bei einer winkeltreuen Abbildung werden insbesondere zueinander orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet. Für eine reell-lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C}$

kann man die Winkeltreue auch dadurch ausdrücken, dass

${}{\frac {\operatorname {Re} \,{\left(\varphi (v)\cdot {\overline {\varphi (w)}}\right)}}{\vert {\varphi (v)}\vert \cdot \vert {\varphi (w)}\vert }}={\frac {\operatorname {Re} \,{\left(v\cdot {\overline {w}}\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}\,$

gilt, da ja der Kosinus in dem angegebenen Bereich bijektiv ist.

Bemerkung  

Bei einer winkeltreuen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

zwischen euklidischen Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ werden nicht nur die Winkel am Nullpunkt, sondern überhaupt alle Winkel erhalten. Für Punkte ${}P,Q,R\in V$ stimmt ja der Winkel des Dreiecks an ${}Q$ wegen

${}\angle (P,Q,R)=\angle ({\overrightarrow {QP}},{\overrightarrow {QR}})=\angle (\varphi ({\overrightarrow {QP}}),\varphi ({\overrightarrow {QR}}))=\angle ({\overrightarrow {\varphi (Q)\varphi (P)}}),{\overrightarrow {\varphi (Q)\varphi (R)}})=\angle (\varphi (P),\varphi (Q),\varphi (R))\,$

mit dem Winkel an ${}\varphi (Q)$ des Bilddreiecks ${}\varphi (P),\varphi (Q),\varphi (R)$ überein.

Beispiel

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine ${}{\mathbb {C} }$- lineare Abbildung, die durch die Multiplikation mit der komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$

gestiftet wird. Bezüglich der reellen Basis ${}1,{\mathrm {i} }$ von ${}{\mathbb {C} }=\mathbb {R} ^{2}$ wird diese Abbildung durch die reelle ${}2\times 2$- Matrix

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

beschrieben. Diese schreiben wir als

${}{\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}&0\\0&{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}&-{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\{\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}&{\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{pmatrix}}\,.$

Somit liegt die Hintereinanderschaltung von einer Isometrie (einer Drehung) und einer Streckung mit dem Streckungsfaktor

${}\vert {z}\vert ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

und insbesondere eine winkeltreue Abbildung

vor.  Dies folgt auch aus

${}{\frac {\operatorname {Re} \,{\left(zv\cdot {\overline {zw}}\right)}}{\vert {zv}\vert \cdot \vert {zw}\vert }}={\frac {\operatorname {Re} \,{\left(z\cdot {\overline {z}}\cdot v\cdot {\overline {w}}\right)}}{\vert {z}\vert ^{2}\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}={\frac {\operatorname {Re} \,{\left(v\cdot {\overline {w}}\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}\,.$

Beispiel

Die komplexe Konjugation

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto {\overline {z}},$

ist eine ${}\mathbb {R}$- lineare Isometrie. Für das reelle Skalarprodukt auf ${}{\mathbb {C} }$ ist ja

${}{\begin{aligned}\left\langle {\overline {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}},{\overline {\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}}\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}a\\-b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\-d\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=ac+bd\\&=\left\langle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}}\right\rangle .\end{aligned}}$

Daher liegt insbesondere eine winkeltreue Abbildung vor. Die Winkeltreuheit kann man auch direkt aus

${}{\frac {\operatorname {Re} \,{\left({\overline {v}}\cdot {\overline {\overline {w}}}\right)}}{\vert {\overline {v}}\vert \cdot \vert {\overline {w}}\vert }}={\frac {\operatorname {Re} \,{\left({\overline {v}}\cdot w\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}={\frac {\operatorname {Re} \,{\left(v\cdot {\overline {w}}\right)}}{\vert {v}\vert \cdot \vert {w}\vert }}\,$

folgern.

Satz

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine winkeltreue lineare Abbildung auf dem euklidischen Vektorraum ${}V$.

Dann gibt es eine Isometrie

$\psi \colon V\longrightarrow V$

und eine Streckung

$\sigma \colon V\longrightarrow V$

mit

${}\varphi =\sigma \circ \psi \,.$

Beweis

Es sei

${}r=\det \varphi \,$

und es sei

${}s:={\sqrt[{n}]{\vert {r}\vert }}\,,$

wobei ${}n$ die Dimension von ${}V$ sei. Es sei ${}\sigma$ die Streckung mit dem Faktor ${}s$ und wir betrachten die Abbildung

${}\psi :=\sigma ^{-1}\circ \varphi \,.$

Diese Abbildung ist nach wie vor winkeltreu und ihre Determinante ist ${}1$ oder ${}-1$. Nach Aufgabe 33.18 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist ${}\psi$ eine Isometrie.

$\Box$

Lemma

Es sei

$L\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine ${}\mathbb {R}$- lineare, winkeltreue Abbildung.

Dann ist entweder

${}L=\mu \,$

oder

${}L=C\circ \mu \,,$

wobei ${}C$ die komplexe Konjugation und ${}\mu$ die Multiplikation mit einer komplexen Zahl ${}\neq 0$ bezeichnet.

Beweis

Durch eine komplexe Konjugation kann man davon ausgehen, dass die Determinante eine positive reelle Zahl ${}r$ ist. Durch die reelle Streckung mit dem Faktor ${}{\frac {1}{\sqrt {r}}}$ kann man davon ausgehen, dass eine winkeltreue lineare Abbildung mit Determinante ${}1$ vorliegt. Nach Satz 4.11 haben wir eine reelle Isometrie, und nach Satz 34.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) liegt eine ebene Drehung vor. Diese sind die Multiplikation mit einer komplexen Zahl vom Betrag ${}1$.

$\Box$

Holomorphe Abbildungen und Winkeltreue

Eine holomorphe Abbildung ist winkeltreu.

Eine komplex-differenzierbare Abbildung, deren Ableitung nirgendwo gleich ${}0$ ist, hat somit die Eigenschaft, dass in jedem Punkt die lineare Approximation winkeltreu ist. Dies wirkt sich dahingehend aus, dass ein rechtwinkliges Koordinatensystem auf ein krummliniges Koordinatensystem abgebildet wird, dass die Bildkoordinatenlinien aber nach wie vor senkrecht aufeinander stehen.

Beispiel

Die Joukowski-Abbildung ist durch

${}f(z)={\frac {1}{2}}{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}\,$

gegeben und auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ definiert. Sie ist abgesehen von den beiden Nullstellen ${}1,-1$ der Ableitung

${}f'(z)={\frac {1}{2}}{\left(1-{\frac {1}{z^{2}}}\right)}\,$

winkeltreu. Unter der Abbildung wird die Einheitskreislinie auf das reelle Intervall ${}[-1,1]$ abgebildet. Kreise mit Mittelpunkt ${}0$ werden auf Ellipsen abgebildet. Andere Kreise werden auf verschiedene Figuren abgebildet, die als Tragflächenprofile Verwendung finden.

Einige Bildkurven der cartesischen Koordinatenlinien der Einheitskreisscheibe unter der komplexen Invertierungsfunktion ${}z^{-1}$.

Lemma

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung derart, dass das totale Differential in jedem Punkt invertierbar sei.

Dann ist ${}f$ auf ${}G$ genau dann komplex differenzierbar, wenn ${}\left(Df\right)_{P}$ in jedem Punkt ${}P\in G$ winkeltreu und orientierungstreu ist.

Beweis

Die Hinrichtung ergibt sich aus Beispiel 4.6, da ja im Falle der komplexen Differenzierbarkeit das totale Differential die Multiplikation mit der komplexen Zahl ${}f'(P)$ beschreibt. Wenn umgekehrt die beiden Bedingungen erfüllt sind, so ist die Determinante der Jacobi-Matrix stets positiv und daher liegt in Lemma 4.12 stets der erste Fall vor, also die Multiplikation mit einer komplexen Zahl.

$\Box$

Einige Urbildkurven von Koordinatenlinien zu ${}z\mapsto z^{3}$ vom Sechstelsektor in die obere Halbebene.

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