Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 4

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige ${}{\frac {\partial z}{\partial {\overline {z}}}}=0$ und ${}{\frac {\partial {\overline {z}}}{\partial {\overline {z}}}}=1$.

Aufgabe *

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes und es seien

$f,g\colon U\longrightarrow \mathbb {C}$

in einem Punkt ${}P\in U$ (reell) total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Produktfunktion ${}fg$ (Multiplikation in ${}\mathbb {C}$) total differenzierbar ist, und dass

${}\left(Dfg\right)_{P}=f(P)\left(Dg\right)_{P}+g(P)\left(Df\right)_{P}\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraumes ${}V$ und es seien

$f,g\colon U\longrightarrow \mathbb {C}$

in einem Punkt ${}P\in U$ (reell) total differenzierbare Abbildungen, wobei ${}g(P)\neq 0$ sei. Zeige, dass dann auch die Quotientenfunktion ${}f/g$ (Division in ${}\mathbb {C}$) total differenzierbar ist, und dass dabei

${}\left(D{\frac {f}{g}}\right)_{P}={\frac {g(P)\left(Df\right)_{P}-f(P)\left(Dg\right)_{P}}{g(P)^{2}}}\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die holomorphe Ableitung die Quotientenregel

${}{\frac {\partial {\frac {f}{g}}}{\partial z}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial z}}-f{\frac {\partial g}{\partial z}}}{g^{2}}}\,$

auf dem nullstellenfreien Ort zu ${}g$ erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung und sei ${}c\in {\mathbb {C} }$. Zeige

${}{\frac {\partial (cf)}{\partial {\overline {z}}}}=c{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige

${}{\frac {\partial (f+g)}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}+{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige, dass die antiholomorphe Ableitung ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ die Produktregel

${}{\frac {\partial (fg)}{\partial {\overline {z}}}}=f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}+g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,$

erfüllt.

Aufgabe

Bestimme die Ableitungen ${}{\frac {\partial }{\partial z}}$ und ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ von ${}f(z)=z^{a}{\overline {z}}^{b}$.

Aufgabe

Bestimme die Ableitung ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ von

${}f(z)={\overline {z}}^{3}+5z^{2}{\overline {z}}^{2}-3z^{2}{\overline {z}}+z{\overline {z}}^{2}+2z{\overline {z}}+4z+3{\overline {z}}\,.$

Aufgabe *

Berechne ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ von ${}\arctan {\left(z{\overline {z}}\right)}$.

Aufgabe

Skizziere das Bild von einigen kartesischen (horizontalen und vertikalen) Koordinatenlinien unter der komplexen Exponentialfunktion

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z.$

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen,

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

komplex differenzierbar und ${}P\in U$ ein Punkt mit ${}f'(P)\neq 0$. Es seien

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon [-\epsilon ,\epsilon ]\longrightarrow U$

differenzierbare Kurven mit ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P$ und ${}\gamma '_{1}(0),\gamma '_{2}(0)\neq 0$. Zeige, dass der Winkel zwischen ${}\gamma '_{1}(0)$ und ${}\gamma '_{2}(0)$ mit dem Winkel zwischen ${}(f\circ \gamma _{1})'(0)$ und ${}(f\circ \gamma _{2})'(0)$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}f(z)=z^{n}$, ${}n\geq 2$, und seien

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon [-\epsilon ,\epsilon ]\longrightarrow {\mathbb {C} }$

differenzierbare Kurven mit ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=0$ und ${}\gamma '_{1}(0),\gamma '_{2}(0)\neq 0$. Zeige, dass der Winkel zwischen ${}\gamma '_{1}(0)$ und ${}\gamma '_{2}(0)$ nicht mit dem Winkel zwischen ${}(f\circ \gamma _{1})'(0)$ und ${}(f\circ \gamma _{2})'(0)$ übereinstimmt. Gibt es eine Regelmäßigkeit, wie sich die Winkel zueinander verhalten?

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge. Eine Abbildung

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt antiholomorph, wenn ${}{\overline {f}}$ holomorph ist.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und es sei

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass ${}f$ genau dann antiholomorph ist, wenn das totale Differential ${}{\mathbb {C} }$- antilinear ist.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und es sei

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine reell total differenzierbare Abbildung. Zeige, dass ${}f$ genau dann antiholomorph ist, wenn für die holomorphe Ableitung ${}{\frac {\partial f}{\partial z}}=0$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und es sei

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine antiholomorphe Funktion mit nirgends verschwindender (reeller) Jacobimatrix. Zeige, dass ${}f$ in jedem Punkt winkeltreu ist (also dass die Jacobimatrix in jedem Punkt winkeltreu ist).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung ${}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}$ von

${}f(z)={\overline {z}}^{4}-6z^{3}{\overline {z}}^{3}-4z^{2}{\overline {z}}^{3}+5{\mathrm {i} }z{\overline {z}}^{2}+3z{\overline {z}}+4z+{\left(2+5{\mathrm {i} }\right)}{\overline {z}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und seien ${}f,g\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ reell total differenzierbare Abbildungen. Zeige

${}{\frac {\partial {\frac {f}{g}}}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {g{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}-f{\frac {\partial g}{\partial {\overline {z}}}}}{g^{2}}}\,$

auf dem nullstellenfreien Ort zu ${}g$.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Bestimme für die folgenden Funktionen von ${}\mathbb {C}$ nach ${}\mathbb {C}$, ob dazu die holomorphe bzw. die antiholomorphe Ableitung existieren und bestimme sie gegebenenfalls.

1. ${}\operatorname {Re} \,{\left(z\right)}$,
2. ${}\vert {z}\vert$,
3. ${}\vert {z}\vert ^{2}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und es sei

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine reell stetig differenzierbare Abbildung mit der Eigenschaft, dass das totale Differential zu ${}f$ in jedem Punkt winkeltreu (und insbesondere invertierbar) ist. Zeige, dass ${}f$ entweder holomorph oder antiholomorph ist.