Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 1

Komplex differenzierbare Funktionen

Die Funktionentheorie beschäftigt sich mit komplex differenzierbaren Funktionen von ${}{\mathbb {C} }$ nach ${}{\mathbb {C} }$ bzw. von einer offenen Teilmenge davon. Wir wiederholen den Differenzierbarkeitsbegriff mit seinen Rechenregeln, wobei wir den Fall ${}\mathbb {R}$ und ${}{\mathbb {C} }$ parallel behandeln und dafür ${}{\mathbb {K} }$ schreiben. Im Laufe der Vorlesung wird sich aber ergeben, dass sich die komplexe von der reellen Situation in vielfältiger Hinsicht unterscheidet.

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar in ${}a$ ist, wenn der Limes

$\operatorname {lim} _{x\in D\setminus \{a\},\,x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von ${}f$ in ${}a$, geschrieben

$f'(a).$

Satz

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion.

Dann ist ${}f$ in ${}a$ genau dann differenzierbar, wenn es ein ${}s\in {\mathbb {K} }$ und eine Funktion

$r\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

gibt mit ${}r$ stetig in ${}a$ und ${}r(a)=0$ und mit

${}f(x)=f(a)+s(x-a)+r(x)(x-a)\,.$

Die in diesem Satz formulierte Eigenschaft, die zur Differenzierbarkeit äquivalent ist, nennt man auch die lineare Approximierbarkeit. Die affin-lineare Abbildung

$D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f(a)+f'(a)(x-a),$

heißt dabei die affin-lineare Approximation. Ihr Graph heißt die Tangente an ${}f$ im Punkt ${}a$. Die durch ${}f(a)$ gegebene konstante Funktion kann man als konstante Approximation ansehen. Das Konzept der linearen Approximierbarkeit erlaubt es, die Differenzierbarkeit auf die Stetigkeit (einer anderen Funktion) zurückzuführen und dadurch verschiedene Rechenregeln einfach beweisen zu können.

Korollar

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion, die im Punkt ${}a$ differenzierbar sei.

Dann ist ${}f$ stetig in ${}a$.

Die folgenden Rechenregeln für differenzierbare Funktionen kann man über die lineare Approximierbarkeit oder über Rechenregeln für Funktionslimiten beweisen, wie dies in Analysis I durchgeführt wird.

Lemma

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien.

Dann ist die Summe ${}f+g$ differenzierbar in ${}a$ mit

${}(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)\,.$

Die folgende Ableitungsregel heißt Produktregel.

Lemma

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien.

Dann ist das Produkt ${}f\cdot g$ differenzierbar in ${}a$ mit

${}(f\cdot g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)\,.$

Korollar

Eine Polynomfunktion

${}f=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+c_{3}z^{3}+\cdots +c_{n-1}z^{n-1}+c_{n}z^{n}\,$

ist in jedem Punkt differenzierbar, und für die Ableitung gilt

${}f'(z)=c_{1}+2c_{2}z+3c_{3}z^{2}+\cdots +(n-1)c_{n-1}z^{n-2}+nc_{n}z^{n-1}\,.$

Die folgende Ableitungsregel heißt Quotientenregel.

Lemma

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen, ${}a\in D$ ein Punkt und

$f,g\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen, die in ${}a$ differenzierbar seien. Die Funktion ${}g$ habe keine Nullstelle in ${}D$.

Dann ist ${}f/g$ differenzierbar in ${}a$ mit

${}\left({\frac {f}{g}}\right)'(a)={\frac {f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{(g(a))^{2}}}\,.$

Die folgende Ableitungsregel heißt Kettenregel.

Satz

Es seien ${}D$ und ${}E$ offene Mengen in ${}{\mathbb {K} }$ und seien

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

und

$g\colon E\longrightarrow {\mathbb {K} }$

Funktionen mit ${}f(D)\subseteq E$. Es sei ${}f$ in ${}a$ differenzierbar und ${}g$ sei in

${}b=f(a)\,$

differenzierbar.

Dann ist auch die Hintereinanderschaltung

$g\circ f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

in ${}a$ differenzierbar mit der Ableitung

${}(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)\,.$

Satz

Es seien ${}D$ und ${}E$ offene Mengen in ${}{\mathbb {K} }$ und sei

$f\colon D\longrightarrow E$

eine bijektive stetige Funktion mit einer stetigen Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon E\longrightarrow D$

Es sei ${}f$ in

${}a\in D$ differenzierbar mit ${}f'(a)\neq 0$.

Dann ist auch die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ in ${}b=f(a)$ differenzierbar mit

${}{\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt ${}a\in D$ die Ableitung ${}f'(a)$ von ${}f$ in ${}a$ existiert. Die Abbildung

$f'\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,x\longmapsto f'(x),$

heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von ${}f$.

Definition

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ ${}n$-mal differenzierbar ist, wenn ${}f$ ${}(n-1)$-mal differenzierbar ist und die ${}(n-1)$-te Ableitung ${}f^{(n-1)}$ differenzierbar ist. Die Ableitung

${}f^{(n)}(z):=(f^{(n-1)})'(z)\,$

nennt man dann die ${}n$-te Ableitung von ${}f$.

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ n-mal stetig differenzierbar ist, wenn ${}f$ n-mal differenzierbar ist und die n-te Ableitung ${}f^{(n)}$ stetig ist.

Definition

Eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt holomorph, wenn sie komplex differenzierbar ist.

Diesen Begriff werden wir erst dann verwenden, wenn wir gezeigt haben (siehe Satz 14.2), dass eine komplex differenzierbare Funktion viele weitere Eigenschaften erfüllt.

Definition

Eine Funktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },$

die in jedem Punkt komplex differenzierbar ist, heißt ganze Funktion.

Jedes komplexe Polynom definiert eine ganze Funktion. Auch die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen sind ganz.

Definition

Es sei ${}D\subseteq {\mathbb {K} }$ offen und sei

$f\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Funktion. Eine Funktion

$F\colon D\longrightarrow {\mathbb {K} }$

heißt Stammfunktion zu ${}f$, wenn ${}F$ auf ${}D$ differenzierbar ist und ${}F'(x)=f(x)$ für alle ${}x\in D$ gilt.

Es sei erwähnt, dass eine stetige komplexe Funktion ${}f\colon D\rightarrow {\mathbb {C} }$ im Allgemeinen keine Stammfunktion besitzt. Dies ist ein großer Unterschied zur reellen Analysis, vergleiche Korollar 24.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

Rationale Funktionen

Definition

Zu Polynomen ${}P,Q\in {\mathbb {K} }[X]$, ${}Q\neq 0$, heißt die Funktion

$D\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$

wobei ${}D$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

Polynomfunktionen sind insbesondere rationale Funktionen. Die einfachste rationale Funktion, die keine Polynomfunktion ist, ist die komplexe Invertierung

${\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto z^{-1}.$

Sie ist im Nullpunkt nicht definiert und lässt sich im Nullpunkt auch nicht stetig fortsetzen. Dies beruht darauf, dass sich auch die zugehörige Betragsfunktion, also

${\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto {\frac {1}{\vert {z}\vert }},$

nicht stetig fortsetzen lässt. Reell betrachtet handelt es sich um die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},$

und für jede Folge, die in der Ebene gegen ${}(0,0)$ konvergiert, divergiert die Bildfolge bestimmt gegen ${}+\infty$. Für jede endliche Punktmenge ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in {\mathbb {C} }$ ist die rationale Funktion

${\frac {1}{(z-a_{1})(z-a_{2})\cdots (z-a_{n})}}$

eine auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ definierte rationale Funktion, die sich in die Punkte ${}a_{i}$ nicht stetig fortsetzen kann.

Lemma

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {K} }[X]$ Polynome und es sei ${}U:={\left\{z\in {\mathbb {K} }\mid Q(z)\neq 0\right\}}$.

Dann ist die rationale Funktion

$U\longrightarrow {\mathbb {K} },\,z\longmapsto {\frac {P(z)}{Q(z)}},$

differenzierbar mit der Ableitung

${}{\left({\frac {P(z)}{Q(z)}}\right)}'={\frac {P'(z)Q(z)-P(z)Q'(z)}{Q(z)^{2}}}\,.$

Beweis

Dies folgt aus Korollar 1.6 und der Quotientenregel.

$\Box$

Lemma

Für ${}a\in {\mathbb {K} }$ ist die (auf ${}{\mathbb {K} }\setminus \{a\}$ definierte) rationale Funktion ${}(z-a)^{n}$ mit ${}n\in \mathbb {Z} _{-}$

differenzierbar, mit der Ableitung

${}{\left((z-a)^{n}\right)}'=n(z-a)^{n-1}\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 1.17.

$\Box$

Damit gilt diese Formel für alle Potenzen einer normierten Linearform mit einem ganzzahligen Exponenten. Im reellen Fall gilt sie auch für beliebige reelle positive Argumente und beliebige reelle Exponenten, siehe Korollar 20.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Im komplexen Fall ist ein Ausdruck wie

${}{\sqrt {z}}=z^{1/2}\,$

gar nicht definiert, und lässt sich auch nicht komplex-differenzierbar auf ganz ${}{\mathbb {C} }$ definieren.

Eine rationale Funktion wie ${}{\frac {1}{(z-a_{1})(z-a_{2})\cdots (z-a_{n})}}$ ist keine ganze Funktion. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra ergibt sich, dass eine rationale Funktion nur dann ganz ist, wenn sie ein Polynom ist.

Der folgende Satz heißt Satz über die komplexe Partialbruchzerlegung.

Satz

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {C} }[X]$, ${}Q\neq 0$, Polynome und es sei

${}Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}\,$

mit verschiedenen ${}a_{i}\in {\mathbb {C} }$.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom ${}H\in {\mathbb {C} }[X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten ${}c_{ij}\in {\mathbb {C} }$, ${}1\leq i\leq s$, ${}1\leq j\leq r_{i}$, mit

${}{\frac {P}{Q}}=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}\,.$

Beweis

Die Division mit Rest liefert eine eindeutige Darstellung

${}{\frac {P}{Q}}=H+{\frac {\tilde {P}}{Q}}\,$

mit ${}\operatorname {grad} \,({\tilde {P}})<\operatorname {grad} \,(Q)$. Wir müssen daher die Aussage nur für Quotienten aus Polynomen zeigen, bei denen der Grad des Zählerpolynoms kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist. Wir führen Induktion über den Grad ${}r=\sum _{i=1}^{s}r_{i}$ des Nennerpolynoms. Bei ${}r=0,1$ ist nichts zu zeigen, denn der Quotient steht bereits in der gewünschten Form. Es sei nun ${}Q$ ein Nennerpolynom vom Grad ${}r$ und die Aussage sei für kleineren Grad bereits bewiesen. Es sei ${}X-a_{1}$ ein Linearfaktor von ${}Q$, sodass wir

${}Q={\tilde {Q}}(X-a_{1})\,$

schreiben können, wobei ${}{\tilde {Q}}$ den Grad ${}r-1$ besitzt. Die Ordnung von ${}X-a_{1}$ in ${}Q$ sei ${}r_{1}$. Wir setzen

${}{\frac {P}{Q}}={\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}\,$

an. Dies führt auf

${}P=c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}+{\tilde {P}}(X-a_{1})\,,$

aus der wir ${}c_{1r_{1}}$ und ${}{\tilde {P}}$ bestimmen wollen. Da die Gleichheit insbesondere für ${}X=a_{1}$ gelten soll, muss

${}c_{1r_{1}}={\frac {P(a_{1})}{(a_{1}-a_{2})^{r_{2}}\cdots (a_{1}-a_{s})^{r_{s}}}}\,$

sein, wobei diese Division erlaubt ist, da die ${}a_{i}$ als verschieden vorausgesetzt worden sind. Wir betrachten nun

$P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}$

mit dem soeben bestimmten Wert ${}c_{1r_{1}}$. Für diese Differenz ist dann ${}a_{1}$ nach Konstruktion eine Nullstelle, sodass man nach Lemma 11.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) durch ${}X-a_{1}$ teilen kann, also

${}P-c_{1r_{1}}(X-a_{2})^{r_{2}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}=(X-a_{1}){\tilde {P}}\,$

erhält. Dadurch ist ${}{\tilde {P}}$ eindeutig festgelegt. Der Grad von ${}{\tilde {P}}$ ist kleiner als der Grad von ${}P$ und daher ist der Grad von ${}{\tilde {P}}$ auch kleiner als der Grad von ${}{\tilde {Q}}$. Daher können wir auf ${}{\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden.

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X]$ der Polynomring in einer Variablen über ${}K$. Dann nennt man den Quotientenkörper ${}Q(K[X])$ den rationalen Funktionenkörper über ${}K$ (oder Körper der rationalen Funktionen über ${}K$). Er wird mit ${}K(X)$ bezeichnet.

Die Elemente im Körper der rationalen Funktionen sind also Brüche der Form ${}{\frac {P}{Q}}$ mit Polynomen ${}P$ und ${}Q\neq 0$, wobei ${}{\frac {P}{Q}}={\frac {\tilde {P}}{\tilde {Q}}}$ identifiziert werden, wenn ${}P{\tilde {Q}}=Q{\tilde {P}}$ im Polynomring gilt. Diese Gleichung gilt bei ${}K=\mathbb {R} ,{\mathbb {C} }$ genau dann, wenn die Gleichheit als rationale Funktionen außerhalb der Nullstellen von ${}Q$ und ${}{\tilde {Q}}$ gilt.

Lemma

Es sei ${}{\mathbb {K} }(X)$ die Menge der rationalen Funktionen über ${}{\mathbb {K} }$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. ${}{\mathbb {K} }(X)$ ist mit der punktweisen Addition und Multiplikation ein Körper.
2. Mit ${}f,g\in {\mathbb {K} }(X)$ gehört auch die Hintereinanderschaltung ${}f\circ g$ zu ${}{\mathbb {K} }(X)$.
3. Mit ${}f\in {\mathbb {K} }(X)$ gehört auch die Ableitung ${}f'$ zu ${}{\mathbb {K} }(X)$.

Beweis

1. Klar.
2. Siehe Aufgabe 1.14.
3. Siehe Aufgabe 1.15.

$\Box$

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