Differenzierbar/D offen K/Umkehrfunktion/Fakt

Ableitung der Umkehrfunktion

Es seien ${}D$ und ${}E$ offene Mengen in ${}{\mathbb {K} }$ und sei

f\colon D\longrightarrow E

eine bijektive stetige Funktion mit einer stetigen Umkehrfunktion

f^{-1}\colon E\longrightarrow D

Es sei

{}f

in

${}a\in D$ differenzierbar mit ${}f'(a)\neq 0$ .

Dann ist auch die Umkehrfunktion ${}f^{-1}$ in ${}b=f(a)$ differenzierbar mit

${}{\left(f^{-1}\right)}'(b)={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}={\frac {1}{f'(a)}}\,.$