Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {U \setminus \{a\} } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass $f$ in $a$ genau dann eine
\definitionsverweis {hebbare Singularität}{}{}
besitzt, wenn dies für die Ableitung $f'$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.}
Zeige, dass für ${\mathbb K}$-wertige stetige Funktionen auf $X$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \sim }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
falls es eine
\definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f {{|}}_{X \setminus D}
}
{ =} { g{{|}}_{X \setminus D}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{}
und
\maabb {f} {U \setminus D } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{$f$ ist eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf $U$.
}{Für jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die holomorphe Funktion
\mathl{f {{|}}_{ (U \setminus D) \cap V }}{} meromorph auf $V$.
}{Es gibt eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} V_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die holomorphen Funktionen
\mathl{f {{|}}_{(U \setminus D) \cap V_i }}{} meromorph sind auf $V_i$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt. Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ V
}
{ \subseteq }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
$h$ auf $V$ und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ h \cdot (z-P)^k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und sei
\maabb {f} {U } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{}
\maabbdisp {g_i,h_i} {U_i} { {\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h_i
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mathl{f {{|}}_{U_i}}{} mit
\mathl{g_i/h_i}{} auf $U_i$ außerhalb einer diskreten Teilmenge übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und sei
\maabb {f} {U } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
mit endlich vielen
\definitionsverweis {Polstellen}{}{.}
Zeige, dass es eine
\definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{}
\maabbdisp {g} {U} { {\mathbb C}
} {}
und ein Polynom $h$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { { \frac{ g }{ h } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es zu jeder
\definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Menge}{}{}
eine minimale
\definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass $f$ auf
\mathl{U \setminus D}{}
\definitionsverweis {holomorph}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
\maabb {f} {U} {{\mathbb C}
} {}
auf einem
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine Nullstelle der Ordnung $k$ besitzt, wenn $f^{-1}$ in $a$ einen Pol der Ordnung $k$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zu einer
\definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{}
\maabb {f} {U} {{\mathbb C}
} {}
auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auch die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$f'$ meromorph ist. Was passiert dabei mit der Polstellenordnung in einem Punkt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ U { \left( 0,r \right) }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Kreisscheibe und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{ U \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $f$ eine
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{}
auf $V$ und seien $\alpha_0 , \ldots , \alpha_{d-1}$ meromorphe Funktionen auf $U$. Es erfülle $f$ die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^d + \alpha_{d-1} f^{d-1} + \cdots + \alpha_2f^2+ \alpha_1 f+\alpha_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf $V$. Zeige, dass $f$ auf ganz $U$ meromorph ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei ${\mathcal M}_P$ der Ring der Keime der
\definitionsverweis {meromorphen Funktionen}{}{,}
die in einer offenen Umgebung von $P$ definiert sind. Zeige, dass ${\mathcal M}_P$ der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von
\mathl{{\mathbb C} \langle \! \langle T-P \rangle \!\rangle }{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mathl{{\mathcal M}_P}{} der Körper der Keime von
\definitionsverweis {meromorphen Funktionen}{}{,}
die in einer offenen Umgebung von $P$ definiert sind. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\maabbeledisp {} { {\mathcal M}_P \setminus \{0\} } { \Z
} {f} {\operatorname{ord} { \left( f \right) }
} {,}
folgende Eigenschaften besitzt.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} { \left( fg \right) }
}
{ =} { \operatorname{ord} { \left( f \right) } + \operatorname{ord} { \left( g \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} { \left( f+g \right) }
}
{ \geq} { \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} { \left( f \right) } ,\, \operatorname{ord} { \left( g \right) } \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist $f$ ein holomorpher Keim genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} { \left( f \right) }
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hauptteile}{}{}
für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ 2z }{ z^2-1 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hauptteile}{}{}
für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ z-1 }{ (z-3)z^2 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hauptteile}{}{}
für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ z^3 }{ z^4- 1 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hauptteile}{}{}
für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sin z } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {U} {{\mathbb C}
} {}
eine auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{,}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass der
\definitionsverweis {Hauptteil}{}{}
von $f'$ in $P$ mit der Ableitung des Hauptteiles von $f$ in $P$ übereinstimmt.
} {Zeige, dass der
\definitionsverweis {Nebenteil}{}{}
von $f'$ in $P$ mit der Ableitung des Nebenteiles von $f$ in $P$ übereinstimmt.
}
}
{} {}
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Einen Ausdruck der Form
\mathl{\sum_{n = k}^\infty c_n T^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man
\zusatzklammer {formale} {} {}
\definitionswort {Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil}{}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
Definiere auf der Menge
\mathl{K( \!(T)\! )}{} der
\zusatzklammer {formalen} {} {}
\definitionsverweis {Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil}{}{}
über $K$ eine Addition und eine Multiplikation, die für formale Potenzreihen mit der üblichen Addition und Multiplikation übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} der
\definitionsverweis {formale Potenzreihenring}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Menge $K( \!(T)\! )$ der
\zusatzklammer {formalen} {} {}
\definitionsverweis {Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil}{}{}
über $K$ mit der natürlichen Addition und Multiplikation der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
vom
\definitionsverweis {formalen Potenzreihenring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die folgenden
\zusatzklammer {jeweils echten} {} {}
Inklusionen von Ringen vorliegen, und dass in der zweiten Zeile die Quotientenkörper der ersten Zeile stehen
\zusatzklammer {dabei bezeichnet ${ \mathcal M}_0$ den Ring der Keime der meromorphen Funktionen und
\mathl{{\mathbb C}( \!(T)\! )}{} den Ring der formalen Laurent-Reihen mit endlichem Hauptteil} {} {.}
\mathdisp {\begin{matrix}
{\mathbb C} [T]_{(T)} & \subseteq & {\mathbb C}\langle \! \langle T \rangle \!\rangle & \subseteq & {\mathbb C}[ \![T]\! ] \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\
{\mathbb C} (T) & \subseteq & { \mathcal M}_0 & \subseteq & {\mathbb C}( \!(T)\! ) & \, .
\end{matrix}} { }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gebiet}{}{}
und es seien
\maabb {f,g} {U} { {\mathbb C}
} {}
\definitionsverweis {meromorphe Funktionen}{}{}
auf $U$. Es sei $D$ die Menge der Polstellen von $f$ oder von $g$. Die Übereinstimmungsmenge
\mathl{{ \left\{ z \in U \setminus D \mid f(z) = g(z) \right\} }}{} habe einen
\definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{}
in $U$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Zur folgende Aufgabe vergleiche man
Korollar 19.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{f,g}{}
\definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{,}
die in einer offenen Umgebung eines Punktes $a$ definiert seien,
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ =} { g(a)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es habe
\mathl{{ \frac{ f' }{ g' } }}{} im Punkt $a$ eine
\definitionsverweis {hebbare Singularität}{}{}
mit dem Wert $w$. Zeige, dass dann auch
\mathl{{ \frac{ f }{ g } }}{} im Punkt $a$ eine hebbare Singularität mit dem Wert $w$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hauptteile}{}{}
für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ z+4 }{ (z-2)z^3 } }}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hauptteile}{}{}
für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ e^z -1 } }}{.}
}
{} {}