Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 17/latex

\setcounter{section}{17}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und \maabbdisp {f} {U \setminus \{a\} } { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ in $a$ genau dann eine \definitionsverweis {hebbare Singularität}{}{} besitzt, wenn dies für die Ableitung $f'$ gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Zeige, dass für ${\mathbb K}$-wertige stetige Funktionen auf $X$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \sim }{ g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} falls es eine \definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \subseteq }{ X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f {{|}}_{X \setminus D} }
{ =} { g{{|}}_{X \setminus D} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt, eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D }
{ \subseteq }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{} und \maabb {f} {U \setminus D } { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$f$ ist eine \definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{} auf $U$. }{Für jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V }
{ \subseteq }{U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die holomorphe Funktion
\mathl{f {{|}}_{ (U \setminus D) \cap V }}{} meromorph auf $V$. }{Es gibt eine \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} V_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die holomorphen Funktionen
\mathl{f {{|}}_{(U \setminus D) \cap V_i }}{} meromorph sind auf $V_i$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $f$ eine \definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{} auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ V }
{ \subseteq }{U }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} $h$ auf $V$ und ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ = }{ h \cdot (z-P)^k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{} und sei \maabb {f} {U } { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{} \maabbdisp {g_i,h_i} {U_i} { {\mathbb C} } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h_i }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass
\mathl{f {{|}}_{U_i}}{} mit
\mathl{g_i/h_i}{} auf $U_i$ außerhalb einer diskreten Teilmenge übereinstimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{{\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{} und sei \maabb {f} {U } { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{} mit endlich vielen \definitionsverweis {Polstellen}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{} \maabbdisp {g} {U} { {\mathbb C} } {} und ein Polynom $h$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f }
{ =} { { \frac{ g }{ h } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es zu jeder \definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{} auf einer \definitionsverweis {offenen Menge}{}{} eine minimale \definitionsverweis {diskrete Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \subseteq }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass $f$ auf
\mathl{U \setminus D}{} \definitionsverweis {holomorph}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{} \maabb {f} {U} {{\mathbb C} } {} auf einem \definitionsverweis {Gebiet}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann eine Nullstelle der Ordnung $k$ besitzt, wenn $f^{-1}$ in $a$ einen Pol der Ordnung $k$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zu einer \definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{} \maabb {f} {U} {{\mathbb C} } {} auf einer \definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} $f'$ meromorph ist. Was passiert dabei mit der Polstellenordnung in einem Punkt?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{ U { \left( 0,r \right) } }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine offene Kreisscheibe und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V }
{ = }{ U \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei $f$ eine \definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{} auf $V$ und seien $\alpha_0 , \ldots , \alpha_{d-1}$ meromorphe Funktionen auf $U$. Es erfülle $f$ die Ganzheitsgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f^d + \alpha_{d-1} f^{d-1} + \cdots + \alpha_2f^2+ \alpha_1 f+\alpha_0 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} auf $V$. Zeige, dass $f$ auf ganz $U$ meromorph ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei ${\mathcal M}_P$ der Ring der Keime der \definitionsverweis {meromorphen Funktionen}{}{,} die in einer offenen Umgebung von $P$ definiert sind. Zeige, dass ${\mathcal M}_P$ der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} von
\mathl{{\mathbb C} \langle \! \langle T-P \rangle \!\rangle }{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mathl{{\mathcal M}_P}{} der Körper der Keime von \definitionsverweis {meromorphen Funktionen}{}{,} die in einer offenen Umgebung von $P$ definiert sind. Zeige, dass die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} \maabbeledisp {} { {\mathcal M}_P \setminus \{0\} } { \Z } {f} {\operatorname{ord} { \left( f \right) } } {,} folgende Eigenschaften besitzt. \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} { \left( fg \right) } }
{ =} { \operatorname{ord} { \left( f \right) } + \operatorname{ord} { \left( g \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} { \left( f+g \right) } }
{ \geq} { \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} { \left( f \right) } ,\, \operatorname{ord} { \left( g \right) } \right) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist $f$ ein holomorpher Keim genau dann, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} { \left( f \right) } }
{ \geq} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Hauptteile}{}{} für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ 2z }{ z^2-1 } }}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Hauptteile}{}{} für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ z-1 }{ (z-3)z^2 } }}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Hauptteile}{}{} für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ z^3 }{ z^4- 1 } }}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Hauptteile}{}{} für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sin z } }}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {U} {{\mathbb C} } {} eine auf einer \definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definierte \definitionsverweis {meromorphe Funktion}{}{,} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ U }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass der \definitionsverweis {Hauptteil}{}{} von $f'$ in $P$ mit der Ableitung des Hauptteiles von $f$ in $P$ übereinstimmt. } {Zeige, dass der \definitionsverweis {Nebenteil}{}{} von $f'$ in $P$ mit der Ableitung des Nebenteiles von $f$ in $P$ übereinstimmt. }

}
{} {}


Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Einen Ausdruck der Form
\mathl{\sum_{n = k}^\infty c_n T^n}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_n }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nennt man \zusatzklammer {formale} {} {} \definitionswort {Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil}{}





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Definiere auf der Menge
\mathl{K( \!(T)\! )}{} der \zusatzklammer {formalen} {} {} \definitionsverweis {Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil}{}{} über $K$ eine Addition und eine Multiplikation, die für formale Potenzreihen mit der üblichen Addition und Multiplikation übereinstimmen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} der \definitionsverweis {formale Potenzreihenring}{}{} über $K$. Zeige, dass die Menge $K( \!(T)\! )$ der \zusatzklammer {formalen} {} {} \definitionsverweis {Laurent-Reihe mit endlichem Hauptteil}{}{} über $K$ mit der natürlichen Addition und Multiplikation der \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} vom \definitionsverweis {formalen Potenzreihenring}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die folgenden \zusatzklammer {jeweils echten} {} {} Inklusionen von Ringen vorliegen, und dass in der zweiten Zeile die Quotientenkörper der ersten Zeile stehen \zusatzklammer {dabei bezeichnet ${ \mathcal M}_0$ den Ring der Keime der meromorphen Funktionen und
\mathl{{\mathbb C}( \!(T)\! )}{} den Ring der formalen Laurent-Reihen mit endlichem Hauptteil} {} {.}
\mathdisp {\begin{matrix}

{\mathbb C} [T]_{(T)} & \subseteq &  {\mathbb C}\langle \! \langle  T  \rangle \!\rangle  & \subseteq  &  {\mathbb C}[ \![T]\! ]      \\ \downarrow & & \downarrow &   & \downarrow & \\

{\mathbb C} (T) & \subseteq & { \mathcal M}_0 & \subseteq & {\mathbb C}( \!(T)\! ) & \, . \end{matrix}} { }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{} und es seien \maabb {f,g} {U} { {\mathbb C} } {} \definitionsverweis {meromorphe Funktionen}{}{} auf $U$. Es sei $D$ die Menge der Polstellen von $f$ oder von $g$. Die Übereinstimmungsmenge
\mathl{{ \left\{ z \in U \setminus D \mid f(z) = g(z) \right\} }}{} habe einen \definitionsverweis {Häufungspunkt}{}{} in $U$. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ = }{ g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

Zur folgende Aufgabe vergleiche man Korollar 19.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).


\inputaufgabe
{4}
{

Es seien
\mathl{f,g}{} \definitionsverweis {holomorphe Funktionen}{}{,} die in einer offenen Umgebung eines Punktes $a$ definiert seien, mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a) }
{ =} { g(a) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es habe
\mathl{{ \frac{ f' }{ g' } }}{} im Punkt $a$ eine \definitionsverweis {hebbare Singularität}{}{} mit dem Wert $w$. Zeige, dass dann auch
\mathl{{ \frac{ f }{ g } }}{} im Punkt $a$ eine hebbare Singularität mit dem Wert $w$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Hauptteile}{}{} für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ z+4 }{ (z-2)z^3 } }}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Hauptteile}{}{} für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {meromorphen Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ 1 }{ e^z -1 } }}{.}

}
{} {}