Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der obere Halbkreisweg \maabbeledisp {f} {[-1,1]} { \R^2 } {t} {(t, \sqrt{1-t^2}) } {,} zum Weg \maabbeledisp {} {[-1,1]} { \R^2 } {t} { (t,0) } {,} \definitionsverweis {homotop}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {trigonometrische Parametrisierung}{}{}
\maabbeledisp {f} {[0,2 \pi ]} { \R^2 \setminus \{ (0,0) \}
} {t} { \left( \cos t , \, \sin t \right)
} {,}
zum Weg
\maabbeledisp {} {[0,2 \pi]} { \R^2 \setminus \{ (0,0) \}
} {t} { Q(t)
} {,}
\definitionsverweis {homotop}{}{}
ist, wobei der Weg $Q(t)$ das Quadrat mit Mittelpunkt
\mathl{(0,0)}{} und Seitenlänge $2$ gleichmäßig beginnend in
\mathl{(1,0)}{} durchläuft.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {P1S2all.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { P1S2all.jpg } {} {Salix alba} {eo.wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
Zeige, dass der Äquator auf der $2$-\definitionsverweis {Sphäre}{}{} \definitionsverweis {homotop}{}{} zum Nordpol ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Homotopie von Wegen}{}{}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf der Menge der
\definitionsverweis {stetigen Wege}{}{}
von $x$ nach $y$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{.} Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen \maabbdisp {\gamma,\delta} {[0,1] } {X } {} durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den \definitionsverweis {Homotopieklassen von Wegen}{}{} führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges $\gamma$ mit Aufpunkt $x$ mit dem konstanten Weg $x$
\definitionsverweis {homotop}{}{}
zu $\gamma$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[0,1]} {X
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiger Weg}{}{}
von
\mathkor {} {x} {nach} {y} {}
und sei
\mathl{\gamma^{-1}}{} der umgekehrt durchlaufene Weg, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma^{-1}(t)
}
{ \defeq }{ \gamma(1-t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\mathl{\gamma \gamma^{-1}}{}
\definitionsverweis {homotop}{}{}
zum konstanten Weg $x$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte. Es seien $\gamma_1$ und $\gamma_2$
\definitionsverweis {homotope Wege}{}{}
von $x$ nach $y$. Zeige, dass auch die Rückwege $\gamma_1^{-1}$ und $\gamma_2^{-1}$ zueinander homotop sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\mathl{x \in X}{.} Zeige, dass die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
von
\definitionsverweis {Homotopieklassen}{}{}
\definitionsverweis {geschlossener Wege}{}{}
mit Aufpunkt $x$
\definitionsverweis {assoziativ}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} und \maabbdisp {\gamma} {S^1} {X } {} ein \definitionsverweis {stetiger}{}{} \definitionsverweis {geschlossener Weg}{}{.} Zeige, dass $\gamma$ genau dann \definitionsverweis {nullhomotop}{}{} ist, wenn es eine stetige Fortsetzung von $\gamma$ auf die \definitionsverweis {abgeschlossene Kreisscheibe}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige explizit, dass der \definitionsverweis {stetige Weg}{}{} \maabbeledisp {} { [0,2 \pi] } { {\mathbb C}^2 \setminus \{(0,0) \} } {s} { \left( e^{ { \mathrm i} s} , \, 1 \right) } {,} \definitionsverweis {nullhomotop}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {wegzusammenhängender}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Fundamentalgruppen}{}{}
und
\mathkor {} {\pi_1(X,x)} {und} {\pi_1(X,y)} {}
zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
fixiert. Die durch $g$ definierte Abbildung
\maabbeledisp {\kappa_g} {G} {G
} {x} {gxg^{-1}
} {,}
heißt \definitionswort {innerer Automorphismus}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {wegzusammenhängender}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{,}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ \in }{ \pi_1(X,x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixierter stetiger Weg mit Aufpunkt $x$. Zeige, dass durch
\maabbeledisp {} { \pi_1(X,x)} {\pi_1(X,x)
} {\gamma} { \delta \gamma \delta^{-1}
} {,}
ein
\definitionsverweis {innerer Automorphismus}{}{}
der
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{}
in sich selbst gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der $\R^n$ \definitionsverweis {kontrahierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {kontrahierbare}{}{}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die nicht
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {einfach zusammenhängender}{}{}
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und seien
\maabbdisp {\gamma_1, \gamma_2} {[0,1]} {X
} {}
\definitionsverweis {stetige Wege}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma_1(0)
}
{ = }{ \gamma_2(0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma_1(1)
}
{ = }{ \gamma_2(1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathkor {} {\gamma_1} {und} {\gamma_2} {}
zueinander
\definitionsverweis {homotop}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass bei
\mathl{n \geq 3}{} der
\mathl{\R^n \setminus \{P\}}{}
\definitionsverweis {einfach zusammenhängend}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
und
\mathl{x \in X}{} mit
\mathl{\varphi(x)= y}{.} Zeige, dass die Zuordnung
\mathdisp {\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma} { }
eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der
\definitionsverweis {Homotopieklassen}{}{}
\definitionsverweis {geschlossener Wege}{}{}
\zusatzklammer {mit Aufpunkt $x$ bzw. $y$} {} {}
induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x)
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Zuordnung
\mathdisp {\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma} { }
zu einem
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {\pi_1(X,x)} {\pi_1(Y,y)
} {}
führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {topologischen Räumen}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,x'
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte, die durch einen stetigen Weg $\delta$ miteinander verbunden seien und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x)
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x')
}
{ = }{ y'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} \pi_1(X,x) & \stackrel{ \pi(\varphi) }{\longrightarrow} & \pi_1(Y,y) & \\ \!\!\!\!\! \cong \downarrow & & \downarrow \cong \!\!\!\!\! & \\ \pi_1(X,x') & \stackrel{ \pi(\varphi) }{\longrightarrow} & \pi_1(Y,y') & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vorliegt, wobei in den Vertikalen die Isomorphismen zu
\mathkor {} {\delta} {bzw. zu} {\varphi \circ \delta} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ Y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi_1(X \times Y, (x,y))
}
{ \cong} { \pi_1(X,x) \times \pi_1(Y,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {topologischer Raum}{}{} $X$ genau dann \definitionsverweis {kontrahierbar}{}{} ist, wenn er einen Punkt enthält, der ein \definitionsverweis {Deformationsretrakt}{}{} von $X$ ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $[a,b]$ ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} { \R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ = }{ f(b)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der Graphweg
\maabbeledisp {\gamma} {[a,b]} { \R^2
} {t} { (t,f(t))
} {,}
zum Weg
\maabbeledisp {} {[a,b]} { \R^2
} {t} { (t,0)
} {,}
\definitionsverweis {homotop}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {topologischer Raum}{}{}
und
\maabb {\gamma} {[0,1]} {X
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiger Weg}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\theta} {[0,1]} {[0,1]
} {}
stetig mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta(1)
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathkor {} {\gamma} {und} {\theta \circ \gamma} {}
zueinander
\definitionsverweis {homotop}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kontrahierbarer Raum}{}{} \definitionsverweis {wegzusammenhängend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (3+2+1)}
{
Es seien
\mathl{X,Y,Z}{}
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{,}
es seien
\maabb {\varphi} {X} {Y
} {}
und
\maabbdisp {\psi} {Y} {Z
} {}
\definitionsverweis {stetige Abbildungen}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x)
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ \psi(y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die zugehörigen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {Fundamentalgruppen}{}{}
die folgenden Eigenschaften erfüllen.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi( \psi \circ \varphi)
}
{ =} { \pi(\psi) \circ \pi( \varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wenn
\mathkor {} {\varphi} {und} {\psi} {}
invers zueinander sind
\zusatzklammer {was
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X
}
{ = }{ Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
voraussetzt} {} {,}
so sind
\mathkor {} {\pi(\psi)} {und} {\pi(\varphi)} {}
invers zueinander.
}{Wenn $\varphi$ ein
\definitionsverweis {Homöomorphismus}{}{}
ist, dann ist $\pi( \varphi)$ ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Kreisring}{}{} eine $1$-\definitionsverweis {Sphäre}{}{} als \definitionsverweis {Deformationsretrakt}{}{} enthält.
}
{} {}