Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 20
- Übungsaufgaben
In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?
Zeige, dass die trigonometrische Parametrisierung
zum Weg
homotop ist, wobei der Weg das Quadrat mit Mittelpunkt und Seitenlänge gleichmäßig beginnend in durchläuft.
Es sei ein topologischer Raum und . Zeige, dass die Homotopie von Wegen eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von nach ist.
Es sei ein topologischer Raum. Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen
durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den Homotopieklassen von Wegen führt.
Es sei ein topologischer Raum und . Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges mit Aufpunkt mit dem konstanten Weg homotop zu ist.
Es sei ein topologischer Raum und . Es sei
ein stetiger Weg von nach und sei der umgekehrt durchlaufene Weg, also . Zeige, dass die Verknüpfung homotop zum konstanten Weg ist.
Es sei ein topologischer Raum und seien Punkte. Es seien und homotope Wege von nach . Zeige, dass auch die Rückwege und zueinander homotop sind.
Es sei ein topologischer Raum und . Zeige, dass die Verknüpfung von Homotopieklassen geschlossener Wege mit Aufpunkt assoziativ ist.
Es sei ein topologischer Raum und
ein stetiger geschlossener Weg. Zeige, dass genau dann nullhomotop ist, wenn es eine stetige Fortsetzung von auf die abgeschlossene Kreisscheibe gibt.
Es sei ein wegzusammenhängender topologischer Raum und seien Punkte. Zeige, dass die Fundamentalgruppen und und zueinander isomorph sind.
Es sei ein wegzusammenhängender topologischer Raum, sei ein Punkt und sei ein fixierter stetiger Weg mit Aufpunkt . Zeige, dass durch
ein innerer Automorphismus der Fundamentalgruppe in sich selbst gegeben ist.
Zeige, dass der kontrahierbar ist.
Man gebe ein Beispiel für eine kontrahierbare Teilmenge , die nicht sternförmig ist.
Es sei ein einfach zusammenhängender topologischer Raum und seien
stetige Wege mit und . Zeige, dass und zueinander homotop sind.
Zeige, dass bei der einfach zusammenhängend ist.
Es sei eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und mit . Zeige, dass die Zuordnung
eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der Homotopieklassen geschlossener Wege (mit Aufpunkt bzw. ) induziert.
Es sei eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und mit . Zeige, dass die Zuordnung
zu einem Gruppenhomomorphismus
führt.
Es sei eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Es seien Punkte, die durch einen stetigen Weg miteinander verbunden seien und sei und . Zeige, dass ein kommutatives Diagramm
vorliegt, wobei in den Vertikalen die Isomorphismen zu bzw. zu .
Es sei und topologische Räume und , . Zeige
Zeige, dass ein topologischer Raum genau dann kontrahierbar ist, wenn er einen Punkt enthält, der ein Deformationsretrakt von ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Intervall und sei
eine stetige Funktion mit . Zeige, dass der Graphweg
zum Weg
homotop ist.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein topologischer Raum und ein stetiger Weg. Es sei
stetig mit und . Zeige, dass und zueinander homotop sind.
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige, dass ein kontrahierbarer Raum wegzusammenhängend ist.
Aufgabe (6 (3+2+1) Punkte)
Es seien topologische Räume, es seien und
stetige Abbildungen und mit und . Zeige, dass die zugehörigen Gruppenhomomorphismen zwischen den Fundamentalgruppen die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Es ist
- Wenn und invers zueinander sind (was voraussetzt), so sind und invers zueinander.
- Wenn ein Homöomorphismus ist, dann ist ein Isomorphismus.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass ein Kreisring eine - Sphäre als Deformationsretrakt enthält.
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