Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Gruppenhomomorphismus/Basispunktwechsel/Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Es seien ${}x,x'\in X$ Punkte, die durch einen stetigen Weg ${}\delta$ miteinander verbunden seien und sei ${}\varphi (x)=y$ und ${}\varphi (x')=y'$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}\pi _{1}(X,x)&{\stackrel {\pi (\varphi )}{\longrightarrow }}&\pi _{1}(Y,y)&\\\!\!\!\!\!\cong \downarrow &&\downarrow \cong \!\!\!\!\!&\\\pi _{1}(X,x')&{\stackrel {\pi (\varphi )}{\longrightarrow }}&\pi _{1}(Y,y')&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vorliegt, wobei in den Vertikalen die Isomorphismen zu ${}\delta$ bzw. zu ${}\varphi \circ \delta$.

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