Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Gruppenhomomorphismus/Funktorialität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${}X,Y,Z$ topologische Räume, es seien ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und

$\psi \colon Y\longrightarrow Z$

stetige Abbildungen und ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=y$ und ${}z=\psi (y)$. Zeige, dass die zugehörigen Gruppenhomomorphismen zwischen den Fundamentalgruppen die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Es ist

   ${}\pi (\psi \circ \varphi )=\pi (\psi )\circ \pi (\varphi )\,.$

2. Wenn ${}\varphi$ und ${}\psi$ invers zueinander sind (was ${}X=Z$ voraussetzt), so sind ${}\pi (\psi )$ und ${}\pi (\varphi )$ invers zueinander.
3. Wenn ${}\varphi$ ein Homöomorphismus ist, dann ist ${}\pi (\varphi )$ ein Isomorphismus.

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