Homotopie von Wegen/Kurzübersicht/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}I=[0,1]$ und seien ${}\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\rightarrow X$ stetige Wege in einen topologischen Raum ${}X$ mit der Eigenschaft, dass ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)$ und ${}\gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)$ gilt. Eine Homotopie relativ zu ${}\{0,1\}$ zwischen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ ist eine stetige Abbildung

$H\colon I\times I\longrightarrow X,$

die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. ${}H(s,0)=\gamma _{1}(s)$ für alle ${}s\in I$.
2. ${}H(s,1)=\gamma _{2}(s)$ für alle ${}s\in I$.
3. ${}H(0,t)=\gamma _{1}(0)$ für alle ${}t\in I$.
4. ${}H(1,t)=\gamma _{1}(1)$ für alle ${}t\in I$.

Zwei Wege

$\gamma _{0},\gamma _{1}\colon [0,1]\longrightarrow X$

heißen homotop, wenn es eine solche Homotopie zwischen ihnen gibt. Man schreibt ${}\gamma _{0}\sim \gamma _{1}$ für homotope Wege. Die Homotopie ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von ${}x$ nach ${}y$, die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen Homotopieklassen.

Zwei stetige Wege, für die der Endpunkt des ersten Weges mit dem Anfangspunkt des zweiten Weges übereinstimmt, kann man miteinander verknüpfen, indem man zuerst den ersten Weg und anschließend den zweiten Weg durchläuft. Man spricht von der Hintereinanderlegung von Wegen und schreibt einfach ${}\gamma \delta$, wobei ${}\gamma$ zuerst durchlaufen wird. Als Definitionsbereich erhält man dabei das Intervall ${}[0,2]$. Man kann aber, indem man die beiden Wege doppelt so schnell durchläuft, auch das Einheitsintervall als Definitionsbereich wählen. Unter dem Rückweg zu ${}\gamma$ versteht man den entgegengesetzt durchlaufenen Weg, man bezeichnet ihn mit ${}\gamma ^{-1}$.

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}x,y,z\in X$ Punkte. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Homotopie zwischen stetigen Wegen von ${}[0,1]$ nach ${}X$ mit ${}x$ als Anfangspunkt und ${}y$ als Endpunkt ist eine Äquivalenzrelation.
2. Wenn ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ zueinander homotop sind, so sind auch die Rückwege ${}\gamma _{1}^{-1}$ und ${}\gamma _{2}^{-1}$ zueinander homotop.
3. Wenn ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ homotope Wege von ${}x$ nach ${}y$ und ${}\delta _{1}$ und ${}\delta _{2}$ homotope Wege von ${}y$ nach ${}z$ sind, so sind auch die Verknüpfungen ${}\gamma _{1}\delta _{1}$ und ${}\gamma _{2}\delta _{2}$ homotop.
4. Die Hintereinanderlegung ${}\gamma \gamma ^{-1}$ ist zum konstanten Weg homotop.

Beweis

Siehe Aufgabe, Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.

$\Box$