Topologischer Raum/Wege/Homotopie/Eigenschaften/Fakt

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}x,y,z\in X$ Punkte. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Homotopie zwischen stetigen Wegen von ${}[0,1]$ nach ${}X$ mit ${}x$ als Anfangspunkt und ${}y$ als Endpunkt ist eine Äquivalenzrelation.
2. Wenn ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ zueinander homotop sind, so sind auch die Rückwege ${}\gamma _{1}^{-1}$ und ${}\gamma _{2}^{-1}$ zueinander homotop.
3. Wenn ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ homotope Wege von ${}x$ nach ${}y$ und ${}\delta _{1}$ und ${}\delta _{2}$ homotope Wege von ${}y$ nach ${}z$ sind, so sind auch die Verknüpfungen ${}\gamma _{1}\delta _{1}$ und ${}\gamma _{2}\delta _{2}$ homotop.
4. Die Hintereinanderlegung ${}\gamma \gamma ^{-1}$ ist zum konstanten Weg homotop.

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