Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 20

Homotopie von Wegen

Wir haben schon öfters gezeigt, dass gewisse Wegintegrale zu einer Differentialform gleich ${}0$ sind (Korollar 12.12, Satz 13.1, Satz 13.3) bzw. gezeigt, dass man bei der Bestimmung von Wegintegralen Wege durch andere Wege ersetzen kann, wie beispielsweise in Korollar 13.5. Um diese Ergebnisse besser verstehen und erweitern zu können, ist es nötig, zu untersuchen, welche Relation zwischen Wegen garantiert, dass die zugehörigen Wegeintegrale (zu beliebigen holomorphen Differentialformen) übereinstimmen. Es wird sich herausstellen, dass hier eine rein topologische Relation, die Homotopie, entscheidend ist. Die beiden folgenden Vorlesungen werden daher rein topologisch sein und sich mit der Homotopie von Wegen, der Fundamentalgruppe und Überlagerungen beschäftigen. Anschließend können wir wichtige funktionentheoretische Sätze wie Satz 22.3, Korollar 22.4 (Homotopieprinzip) und den Residuensatz beweisen.

Definition

Es sei ${}I=[0,1]$ und seien ${}\gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\rightarrow X$ stetige Wege in einen topologischen Raum ${}X$ mit der Eigenschaft, dass ${}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)$ und ${}\gamma _{1}(1)=\gamma _{2}(1)$ gilt. Eine Homotopie relativ zu ${}\{0,1\}$ zwischen ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ ist eine stetige Abbildung

$H\colon I\times I\longrightarrow X,$

die die folgenden Eigenschaften erfüllt.

1. ${}H(s,0)=\gamma _{1}(s)$ für alle ${}s\in I$.
2. ${}H(s,1)=\gamma _{2}(s)$ für alle ${}s\in I$.
3. ${}H(0,t)=\gamma _{1}(0)$ für alle ${}t\in I$.
4. ${}H(1,t)=\gamma _{1}(1)$ für alle ${}t\in I$.

Zwei Wege

$\gamma _{0},\gamma _{1}\colon [0,1]\longrightarrow X$

heißen homotop, wenn es eine solche Homotopie zwischen ihnen gibt. Man schreibt ${}\gamma _{0}\sim \gamma _{1}$ für homotope Wege. Die Homotopie ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von ${}x$ nach ${}y$, die zugehörigen Äquivalenzklassen heißen Homotopieklassen.

Zwei stetige Wege, für die der Endpunkt des ersten Weges mit dem Anfangspunkt des zweiten Weges übereinstimmt, kann man miteinander verknüpfen, indem man zuerst den ersten Weg und anschließend den zweiten Weg durchläuft. Man spricht von der Hintereinanderlegung von Wegen und schreibt einfach ${}\gamma \delta$, wobei ${}\gamma$ zuerst durchlaufen wird. Als Definitionsbereich erhält man dabei das Intervall ${}[0,2]$. Man kann aber, indem man die beiden Wege doppelt so schnell durchläuft, auch das Einheitsintervall als Definitionsbereich wählen. Unter dem Rückweg zu ${}\gamma$ versteht man den entgegengesetzt durchlaufenen Weg, man bezeichnet ihn mit ${}\gamma ^{-1}$.

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und seien ${}x,y,z\in X$ Punkte. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Homotopie zwischen stetigen Wegen von ${}[0,1]$ nach ${}X$ mit ${}x$ als Anfangspunkt und ${}y$ als Endpunkt ist eine Äquivalenzrelation.
2. Wenn ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ zueinander homotop sind, so sind auch die Rückwege ${}\gamma _{1}^{-1}$ und ${}\gamma _{2}^{-1}$ zueinander homotop.
3. Wenn ${}\gamma _{1}$ und ${}\gamma _{2}$ homotope Wege von ${}x$ nach ${}y$ und ${}\delta _{1}$ und ${}\delta _{2}$ homotope Wege von ${}y$ nach ${}z$ sind, so sind auch die Verknüpfungen ${}\gamma _{1}\delta _{1}$ und ${}\gamma _{2}\delta _{2}$ homotop.
4. Die Hintereinanderlegung ${}\gamma \gamma ^{-1}$ ist zum konstanten Weg homotop.

Beweis

Siehe Aufgabe 20.5, Aufgabe 20.9, Aufgabe 20.6 und Aufgabe 20.8.

$\Box$

Die Fundamentalgruppe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum, den wir als wegzusammenhängend voraussetzen wollen, zu je zwei Punkten ${}x,y\in X$ gibt es also einen stetigen Weg

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

mit ${}\gamma (0)=x$ und ${}\gamma (1)=y$. Ein Weg ${}\gamma$ heißt geschlossen, wenn ${}\gamma (0)=\gamma (1)$ ist, wenn also der Startpunkt mit dem Endpunkt übereinstimmt. Dieser Punkt heißt dann auch Aufpunkt des Weges. Häufig betrachtet man stetige geschlossene Wege in ${}X$ als stetige Abbildungen ${}\gamma \colon S^{1}\rightarrow X$.

Zu geschlossenen homotopen Wegen ${}\gamma _{0}\sim \delta _{0}$ und ${}\gamma _{1}\sim \delta _{1}$ sind auch die Verknüpfungen ${}\gamma =\gamma _{0}\gamma _{1}$ und ${}\delta =\delta _{0}\delta _{1}$ zueinander homotop. Dies erlaubt eine Verknüpfung auf der Menge der Äquivalenzklassen von homotopen geschlossenen Wegen mit Aufpunkt ${}x$, die die Fundamentalgruppe heißt.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x_{0}\in X$ ein Punkt. Unter der Fundamentalgruppe ${}\pi _{1}(X,x_{0})$ von ${}X$ mit Aufpunkt ${}x_{0}$ versteht man die Menge aller Homotopieklassen von stetigen geschlossenen Wege mit Anfangs- und Endpunkt ${}x_{0}$ mit der Hintereinanderlegung von Wegen als Verknüpfung.

Die Fundamentalgruppe der punktierten reellen Ebene ist ${}\mathbb {Z}$, man spricht von der Windungszahl des Weges.

Diese Menge ist mit dem konstanten Weg (also der Homotopieklasse des konstanten Weges) als neutralem Element in der Tat eine Gruppe. Die Assoziativität ist dabei nicht völlig selbstverständlich, da drei geschlossene Weg je nach Klammerung zu unterschiedlichen Wegen auf dem Einheitsintervall führen. Die entstehenden Wege sind aber homotop, so dass auf den Homotopieklassen die Assoziativität gilt, siehe Aufgabe 20.10. Die inverse Homotopieklasse ist durch den entgegengesetzt durchlaufenen Weg gegeben. Deren Verknüpfung ist in der Tat homotop zum konstanten Weg, oder, wie man auch sagt, nullhomotop, siehe Aufgabe 20.8.

Lemma

Es sei ${}X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum und seien ${}x,y\in X$ Punkte.

Dann sind die Fundamentalgruppen und ${}\pi _{1}(X,x)$ und ${}\pi _{1}(X,y)$ zueinander isomorph.

Beweis

Siehe Aufgabe 20.13.

$\Box$

Man beachte, dass hierbei der Isomorphismus nicht kanonisch gegeben ist, sondern von der Wahl eines Verbindungsweges von ${}x$ nach ${}y$ abhängt. Die Aussage ist der Grund, dass man häufig einfach ${}\pi _{1}(X)$ ohne einen expliziten Aufpunkt schreibt.

Kontrahierbare und einfach zusammenhängende Räume

Definition

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt einfach zusammenhängend, wenn er wegzusammenhängend ist und wenn jeder stetige geschlossene Weg in ${}X$ nullhomotop ist.

Der einfache Zusammenhang bedeutet also, dass ${}\pi _{1}(X,x)=0$ ist (für einen beliebigen Aufpunkt ${}x\in X$).

Definition

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt kontrahierbar (oder zusammenziehbar) auf einen Punkt ${}P\in X$, wenn es eine stetige Abbildung

$H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$

derart gibt, dass die Eigenschaften

1. ${}H(-,0)=\operatorname {Id} _{X}$,
2. ${}H(-,1)=P$,
3. ${}H(P,t)=P$ für alle ${}t\in [0,1]$

gelten.

Beispielsweise ist der ${}\mathbb {R} ^{n}$ und jede sternförmige Menge im ${}\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar und nach dem folgenden Satz auch einfach zusammenhängend.

Lemma

Eine sternförmige Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

ist kontrahierbar.

Beweis

Es sei ${}T$ sternförmig bezüglich des Punktes ${}P\in T$. Dann ist

$H\colon T\times [0,1]\longrightarrow T,\,(x,t)\longmapsto (1-t)x+tP$

eine Kontraktion von ${}T$ auf den Punkt ${}P$.

$\Box$

Satz

Die Fundamentalgruppe eines kontrahierbaren Raumes

ist trivial.

Beweis

Es sei

$H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$

die Kontraktion des topologischen Raumes ${}X$ auf den Punkt ${}P\in X$ und es sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger geschlossener Weg in ${}X$ mit Aufpunkt ${}P$. Wir betrachten die zusammengesetzte Abbildung ${}\Psi$

$[0,1]\times [0,1]{\stackrel {\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]}}{\longrightarrow }}X\times [0,1]{\stackrel {H}{\longrightarrow }}X$

und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen ${}\gamma$ und dem konstanten Weg ${}P$ ergibt. Dies folgt aus

${}\Psi (s,0)=H(\gamma (s),0)=\gamma (s)\,$

für alle ${}s$,

${}\Psi (s,1)=H(\gamma (s),1)=P\,$

für alle ${}s$,

${}\Psi (0,t)=H(\gamma (0),t)=H(P,t)=P\,$

für alle ${}t$ und

${}\Psi (1,t)=H(\gamma (1),t)=H(P,t)=P\,$

für alle ${}t$. Dies bedeutet, dass ${}\gamma$ nullhomotop ist.

$\Box$

Ein kontrahierbarer Raum ist also einfach zusammenhängend.

Die Fundamentalgruppe als Funktor

Zu einer stetigen Abbildung

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

und einem Punkt ${}x\in X$ mit ${}y=\varphi (x)$ induziert ein stetiger geschlossener Weg ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ mit Aufpunkt ${}x$ einen stetigen geschlossenen Weg ${}\varphi \circ \gamma$ in ${}Y$ mit Aufpunkt ${}y$. Diese Zuordnung ist mit Homotopien von Wegen verträglich, d.h. wenn ${}\gamma \sim \delta$ zwei homotope Wege in ${}X$ mit Aufpunkt ${}x$ sind, so sind auch ${}\varphi \circ \gamma$ und ${}\varphi \circ \delta$ homotop, siehe Aufgabe 20.19. Daher gibt es eine wohldefinierte Abbildung

$\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(Y,y).$

Diese Abbildung ist sogar ein Gruppenhomomorphismus.

Lemma

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=y$.

Dann definiert die Zuordnung

$\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma$

einen Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(Y,y).$

Beweis

Siehe Aufgabe 20.20.

$\Box$

Dieser Homomorphismus wird mit ${}\pi (\varphi )$ bezeichnet.

Lemma

Es seien ${}X,Y,Z$ topologische Räume, es seien ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und

$\psi \colon Y\longrightarrow Z$

stetige Abbildungen und ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=y$ und ${}z=\psi (y)$. Dann erfüllen die zugehörigen Gruppenhomomorphismen zwischen den Fundamentalgruppen die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist

   ${}\pi (\psi \circ \varphi )=\pi (\psi )\circ \pi (\varphi )\,.$

2. Wenn ${}\varphi$ und ${}\psi$ invers zueinander sind (was ${}X=Z$ voraussetzt), so sind ${}\pi (\psi )$ und ${}\pi (\varphi )$ invers zueinander.
3. Wenn ${}\varphi$ ein Homöomorphismus ist, dann ist ${}\pi (\varphi )$ ein Isomorphismus.

Beweis

Siehe Aufgabe 20.27.

$\Box$

Deformationsretrakte

Definition

Ein Unterraum ${}Y\subseteq X$ eines topologischen Raumes ${}X$ heißt Deformationsretrakt von ${}X$, wenn es eine stetige Abbildung

$H\colon X\times [0,1]\longrightarrow X$

gibt mit

${}H(x,0)=x\,$

für alle ${}x\in X$,

${}H(x,1)\in Y\,$

für alle ${}x\in X$,

${}H(y,t)=y\,$

für alle ${}y\in Y$ und alle ${}t$.

Ein topologischer Raum ist genau dann kontrahierbar, wenn ein einzelner Punkt ${}\{P\}$ ein Deformationsretrakt des Gesamtraumes ist.

Beispiel

Wir betrachten den Kreis ${}S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}$. Die Abbildung

$H\colon {\left(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\right)}\times [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\},\,(x,y,t)\longmapsto {\left({\frac {t}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+1-t\right)}(x,y),$

ist stetig und zeigt, dass der Einheitskreis ein Deformationsretrakt der punktierten Ebene ist. Es ist ja

${}H(x,y,0)=(x,y)\,,$

${}H(x,y,1)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}(x,y)\in S^{1}\,,$

und für ${}(x,y)\in S^{1}$ ist

${}H(x,y,t)=(x,y)\,.$

Satz

Es sei ${}Y\subseteq X$ ein Deformationsretrakt eines topologischen Raumes ${}X$ und ${}P\in Y$.

Dann sind die Fundamentalgruppen ${}\pi _{1}(Y,P)$ und ${}\pi _{1}(X,P)$ zueinander kanonisch isomorph.

Beweis

Die kanonischen Abbildungen

$\pi _{1}(Y,P)\longrightarrow \pi _{1}(X,P){\stackrel {\pi (H(-,1))}{\longrightarrow }}\pi _{1}(Y,P)$

zeigen, da die Hintereinanderschaltung die Identität ist, dass ${}\pi _{1}(Y,P)$ eine Untergruppe von ${}\pi _{1}(X,P)$ ist. Es sei ${}\gamma$ ein stetiger Weg in ${}X$ mit Aufpunkt ${}P$. Wir müssen zeigen, dass er homotop zu einem Weg in ${}Y$ ist. Wir betrachten dazu die zusammengesetzte Abbildung ${}\Psi$

$[0,1]\times [0,1]{\stackrel {\gamma \times \operatorname {Id} _{[0,1]}}{\longrightarrow }}X\times [0,1]{\stackrel {H}{\longrightarrow }}X$

und behaupten, dass dies eine Homotopie zwischen ${}\gamma$ und dem Weg ${}H(-,1)\circ \gamma$ ist, der ganz in ${}Y$ verläuft. Dies folgt aus

${}\Psi (s,0)=H(\gamma (s),0)=\gamma (s)\,$

für alle ${}s$,

${}\Psi (s,1)=H(\gamma (s),1)\in Y\,$

für alle ${}s$,

${}\Psi (0,t)=H(\gamma (0),t)=H(P,t)=P\,$

für alle ${}t$ und

${}\Psi (1,t)=H(\gamma (1),t)=H(P,t)=P\,$

für alle ${}t$.

$\Box$

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