Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 19

Das Residuum

Definition

Es sei

$f\colon U{\left(P,r\right)}\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion auf einer punktierten Kreisscheibe. Es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}$ die Laurent-Entwicklung von ${}f$. Dann nennt man den Koeffizienten ${}c_{-1}$ das Residuum von ${}f$ in ${}P$. Es wird mit ${}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }$ und

$f\colon U\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine auf einer punktierten offenen Umgebung von ${}P$ definierte holomorphe Funktion.

Dann gilt

${}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f(z)dz\,,$

wobei ${}\gamma$ ein einfacher Umlaufweg um ${}P$ ist.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Satz 16.10.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge und ${}P\in U$ ein Punkt. Dann erfüllt das Residuum die folgenden Eigenschaften.

1. Für eine holomorphe Funktion ${}f$ auf ${}U$ ist

   ${}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)=0\,.$

2. Es ist

   ${}\operatorname {Res} _{P}\left({\frac {1}{z-P}}\right)=1\,.$

3. Für ${}n\geq 2$ ist

   ${}\operatorname {Res} _{P}\left({\frac {1}{{\left(z-P\right)}^{n}}}\right)=0\,.$

4. Die Abbildung

   ${\left\{f\mid f:U\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }{\text{ holomorph}}\right\}}\longrightarrow {\mathbb {C} },\,f\longmapsto \operatorname {Res} _{P}\left(f\right),$

   ist ${}{\mathbb {C} }$- linear.

Beweis

Dies ist in allen Fällen aus den Laurent-Reihen der Funktionen ablesbar, (4) ergibt sich aus Lemma 16.15.

$\Box$

Die folgende Charakterisierung wird manchmal auch als Definition für das Residuum verwendet, da man für sie nicht die Existenz der Laurent-Entwicklung voraussetzen muss.

Lemma

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und sei ${}f\colon U\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

Dann ist das Residuum von ${}f$ in ${}P$ diejenige eindeutig bestimmte Zahl ${}r$ mit der Eigenschaft, dass ${}f(z)-r{\frac {1}{z-P}}$ lokal eine Stammfunktion besitzt.

Beweis

Es sei

${}f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}=c_{-1}(z-P)^{-1}+\sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq -1}c_{n}(z-P)^{n}\,$

die Laurent-Entwicklung von ${}f$ in ${}P$. Entsprechend ist

$f(z)-r{\frac {1}{z-P}}={\left(c_{-1}-r\right)}(z-P)^{-1}+\sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq -1}c_{n}(z-P)^{n}\,.$

Die hintere Summe besitzt lokal nach Korollar 14.3 und nach Aufgabe 11.4 eine Stammfunktion. Daher besitzt wegen Beispiel 12.6 die Gesamtfunktion genau dann eine Stammfunktion, wenn der vordere Term gleich ${}0$ ist, also bei ${}c_{-1}=r$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und sei ${}f\colon U\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

Dann ist das Residuum von ${}f$ in ${}P$ genau dann gleich ${}0$, wenn ${}f(z)$ lokal in einer punktierten Umgebung von ${}P$ eine Stammfunktion besitzt.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Lemma 19.4.

$\Box$

Das Residuum einer meromorphen Funktion

Das Residuum ${}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)$ zu einer holomorphen Funktion ${}f$ auf ${}U\setminus \{P\}$ im Punkt ${}P$ ist insbesondere für jede auf ${}U$ definierte meromorphe Funktion definiert und besitzt dort gewisse zusätzliche Eigenschaften. Nach Aufgabe 17.4 ist

${}f(z)={\frac {g(z)}{(z-P)^{m}}}\,$

für ein ${}m$ mit einer holomorphen Funktion ${}g$ und das Residuum kann aus der Potenzreihe von ${}g$ abgelesen werden. Daher kann das Residuum auch mit der Ableitung berechnet werden.

Lemma

Es sei ${}f$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ und sei ${}P\in U$ ein Punkt. Es sei ${}m\in \mathbb {N}$ zumindest so groß wie die Polordnung von ${}f$ in ${}P$ und sei

${}f(z)={\frac {g(z)}{(z-P)^{m}}}\,$

mit einer holomorphen Funktion ${}g$ auf ${}U$.

Dann ist

${}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)={\frac {g^{(m-1)}(P)}{(m-1)!}}\,.$

Beweis

Wir schreiben

${}f(z)={\frac {g(z)}{(z-P)^{m}}}\,$

mit der holomorphen Funktion

${}g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}\,.$

Dann besitzt ${}f$ die Laurent-Reihe

${}f(z)=(z-P)^{-m}{\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n}\right)}={\left(\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-P)^{n-m}\right)}\,$

und das Residuum von ${}f$ in ${}P$ ist gleich ${}c_{m-1}$. Somit ist

${}\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)=c_{m-1}={\frac {g^{(m-1)}(P)}{(m-1)!}}\,$

nach Satz 8.16.

$\Box$

Zu einer nullstellenfreien differenzierbare Funktion ${}f$ nennt man ${}{\frac {f'}{f}}$ die logarithmische Ableitung von ${}f$, siehe Aufgabe 19.10 für den Grund für diese Bezeichnung.

Lemma

Es sei ${}f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.

Dann ist die (Nullstellen)-Ordnung von ${}f$ in einem Punkt ${}P\in U$ gleich

$\operatorname {Res} _{P}\left({\frac {f'}{f}}\right).$

Beweis

Wir können ${}P=0$ annehmen, es sei

${}f(z)=\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}\,$

die Laurent-Entwicklung von ${}f$ im Nullpunkt mit ${}c_{k}\neq 0$, d.h. ${}k$ ist die Ordnung von ${}f$ im Nullpunkt. Es ist dann

${}f'(z)=\sum _{n=k}^{\infty }nc_{n}z^{n-1}\,.$

Der Ansatz

${}{\begin{aligned}f\cdot (kz^{-1}+b_{0}z+b_{1}z^{1}+\ldots )&=(c_{k}z^{k}+c_{k+1}z^{k+1}+\ldots )(kz^{-1}+b_{0}z+b_{1}z^{1}+\ldots )\\&=kc_{k}z^{k-1}+(k+1)c_{k+1}z^{k}+\ldots \\&=f'\end{aligned}}$

zeigt, dass die meromorphe Funktion ${}{\frac {f'}{f}}$ mit ${}kz^{-1}$ beginnt und daher das Residuum ${}k$ besitzt.

$\Box$

Die vorstehende Aussage kann man auch als Korollar zu der folgenden Aussage erhalten.

Lemma

Es sei ${}f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ und es sei ${}h$ eine holomorphe Funktion auf ${}U$.

Dann ist

${}\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}\cdot h(P)=\operatorname {Res} _{P}\left({\frac {h(z)f'(z)}{f(z)}}\right)\,.$

Beweis

Es sei ${}k=\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}$ die Ordnung von ${}f$ in ${}P$. Dann ist

${}f={\left(z-P\right)}^{k}g(z)\,$

mit einer in ${}P$ holomorphen Funktion ${}g$ mit ${}g(P)\neq 0$. Mit der Produktregel ist

${}h(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}=h(z){\frac {k{\left(z-P\right)}^{k-1}g(z)+{\left(z-P\right)}^{k}g'(z)}{{\left(z-P\right)}^{k}g(z)}}=h(z){\left(k\cdot {\frac {1}{z-P}}+{\frac {g'(z)}{g(z)}}\right)}\,.$

Hierbei ist ${}{\frac {g'(z)}{g(z)}}$ holomorph und daher kann man aus der rechten Seite direkt die Laurent-Reihe im Punkt ${}P$ ablesen, sie ist nämlich ${}{\frac {k\cdot h(P)}{z-P}}+$ eine Potenzreihe. Daher ist das Residuum der linken Seite im Punkt ${}P$ gleich ${}k\cdot h(P)$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}f\neq 0$ eine meromorphe Funktion auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.

Dann ist für ${}P\in U$

${}\operatorname {ord} _{P}{\left(f\right)}\cdot P=\operatorname {Res} _{P}\left({\frac {zf'(z)}{f(z)}}\right)\,.$

Beweis

Dies folgt aus Lemma 19.8 mit der Funktion ${}h(z)=z$.

$\Box$

Beachte, dass in der vorstehenden Aussage eine Gleichheit von komplexen Zahlen ausgesprochen wird.

Das Residuum einer meromorphen Differentialform

Für eine meromorphe Differentialform

${}\omega =hdz\,$

auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$, die durch eine meromorphe Funktion ${}h$ auf ${}U$ gegeben ist (und die also außerhalb der Pole von ${}h$ eine holomorphe Differentialform ist), definiert man das Residuum in jedem Punkt durch das Residuum von ${}h$. Entsprechend kann man das Residuum zu einer außerhalb von isolierten Punkten definierten holomorphen Differentialform in den isolierten Punkten definieren.

Lemma

Es sei

$\varphi \colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Abbildung mit ${}\varphi '(P)\neq 0$ für einen Punkt ${}P\in U$. Es sei ${}V$ eine offene Umgebung von ${}\varphi (P)$ und sei ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}V\setminus \{\varphi (P)\}$.

Dann gilt

${}\operatorname {Res} _{P}\left(\varphi ^{*}\omega \right)=\operatorname {Res} _{\varphi (P)}\left(\omega \right)\,.$

Beweis

Wir können ${}P=0$ und ${}\varphi (P)=0$ annehmen. Es sei

${}\varphi (z)=\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}z^{k}\,$

die Potenzreihe von ${}\varphi$ mit ${}c_{1}\neq 0$ und

${}h(w)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}w^{n}\,$

die Laurent-Reihe von ${}h$. Es geht, aufgrund der expliziten Beschreibung des Rückzuges in Lemma 11.15, um das Residuum der Funktion

${\left(h\circ \varphi \right)}\cdot \varphi '$

bzw.

${}{\begin{aligned}\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}{\left(\varphi (z)\right)}^{n}\cdot \varphi '(z)&=\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}{\left(c_{1}z^{1}+c_{2}z^{2}+\ldots \right)}^{n}\cdot {\left(c_{1}+2c_{2}z+\ldots \right)}\\\end{aligned}}$

und es ist zu zeigen, dass daber der Koeffizient zu ${}z^{-1}$ gleich ${}d_{-1}$ ist. Wir betrachten die Situation für verschiedene Exponenten ${}n$ getrennt. Für ${}n\neq -1$ besitzt die Funktion ${}\varphi ^{n}\varphi '$ eine Stammfunktion, nämlich ${}{\frac {1}{n+1}}\varphi ^{n+1}$, daher ist das Residuum von diesen Summanden (bzw. von $\sum _{n\in \mathbb {Z} ,n\neq -1}d_{n}{\left(\varphi (z)\right)}^{n}\cdot \varphi '(z)$) gleich ${}0$. Für ${}n=-1$ müssen wir das Residuum von

${}d_{-1}{\left(c_{1}z^{1}+c_{2}z^{2}+\ldots \right)}^{-1}\cdot {\left(c_{1}+2c_{2}z+\ldots \right)}=d_{-1}z^{-1}{\left(c_{1}+c_{2}z+\ldots \right)}^{-1}\cdot {\left(c_{1}+2c_{2}z+\ldots \right)}\,$

ausrechnen. Die invertierte Funktion zu ${}c_{1}+c_{2}z+\ldots$ ist von der Form ${}c_{1}^{-1}+a_{1}z+\ldots$, daher beginnt die Laurent-Reihe des gesamten Ausdruckes mit ${}d_{-1}z^{-1}+\ldots$, und das Residuum ist ${}d_{-1}$.

$\Box$

Wir erwähnen noch einen weiteren Beweis.

Wegen ${}\varphi '(P)\neq 0$ liegt nach Korollar 5.3 lokal um ${}P$ eine biholomorphe Abbildung vor. Eine einfache Umrundung ${}\gamma$ von ${}P$ wird daher auf die topologisch einfache Umrundung ${}\varphi \circ \gamma$ von ${}\varphi (P)$ abgebildet. Nach Lemma 19.2 und Lemma 12.8 ist somit

${}\operatorname {Res} _{P}\left(\varphi ^{*}\omega \right)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }\varphi ^{*}\omega ={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\varphi \circ \gamma }\omega =\operatorname {Res} _{\varphi (P)}\left(\omega \right)\,.$

Hierbei haben wir verwendet, dass man mit dem Wegintegral zum Weg ${}\varphi \circ \gamma$ das Residuum ausrechnen kann, was wir aber noch nicht bewiesen haben. Es ist zwar ${}\varphi \circ \gamma$ ein bijektives Abbild der Standardumrundung ist, aber selbst keine Standardumrundung. In den folgenden Vorlesungen werden wir zeigen, dass man mit solchen topologisch deformierten Wegen ebenfalls die relevanten Wegintegrale ausrechnen kann. Wir erwähnen einen weiteren Satz, den wir vollständig erst nach einigen topologischen Vorbereitungen mit dem Residuuensatz beweisen können. Zur Formulierung verwenden wir die Sprache der exakten Komplexe. Man sagt, dass eine (endliche oder unendliche) Folge

$\ldots \longrightarrow M_{0}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}M_{1}{\stackrel {d_{2}}{\longrightarrow }}M_{2}{\stackrel {d_{3}}{\longrightarrow }}M_{3}\longrightarrow \ldots$

von Vektorräumen ${}M_{i}$ (oder kommutativen Gruppen oder Moduln über einem kommutativen Ring) und linearen Abbildungen ${}d_{i}$ ein exakter Komplex ist, wenn

${}\operatorname {kern} d_{i+1}=\operatorname {bild} d_{i}\,$

für alle ${}i$ (als Unterräume von ${}M_{i}$) ist. In der folgenden Aussage wird der ${}{\mathbb {C} }$-Vektorraum der holomorphen Funktionen auf einer offenen Menge ${}U$, hier mit ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ bezeichnet, mittels der Ableitung auf den Vektorraum der holomorphen Differentialformen auf ${}U$, bezeichnet mit ${}\Gamma (U,\Omega )$, abgebildet. Ferner werden die Residuen der holomorphen Differentialformen in isolierten Punkten ausgewertet.

Lemma

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein sternförmiges Gebiet, es seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in G$ Punkte und ${}U=G\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$.

Dann ist der Komplex

$0\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}){\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Gamma (U,\Omega ){\stackrel {\operatorname {Res} _{P_{i}}\left(-\right)}{\longrightarrow }}{\mathbb {C} }^{n}\longrightarrow 0$

exakt. Insbesondere ist der Restklassenraum der holomorphen Differentialformen modulo der exakten Differentialformen isomorph zu ${}{\mathbb {C} }^{n}$.

Beweis

Die Abbildungen sind nach

Lemma 11.2  (4) und Lemma 19.3  (4) ${}{\mathbb {C} }$- linear. Da ${}U$ selbst ein Gebiet ist, stimmen die konstanten Funktionen mit den Funktionen überein, deren Ableitung gleich ${}0$ ist. Deshalb ist der Komplex in ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ exakt. Die Surjektivität hinten ist klar, da die auf ${}U$ holomorphe Differentialform ${}{\frac {a_{1}dz}{z-P_{1}}}+\cdots +{\frac {a_{n}dz}{z-P_{n}}}$ auf das Residuentupel ${}\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$ abbildet.

Es sei eine holomorphe Funktion ${}f$ auf ${}U$ gegeben, und es sei ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P_{i})^{n}$ die Laurent-Reihe von ${}f$ in ${}P_{i}$. Die zugehörige Differentialform

${}df=f'dz\,$

besitzt dann in ${}P_{i}$ eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Residuum. Es sei nun umgekehrt ${}\omega =hdz$ eine holomorphe Differentialform auf ${}U$, deren Residuen in den Punkten ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ gleich ${}0$ seien. Dies bedeutet nach Korollar 19.5, dass es zu jedem Punkt ${}P_{i}$ eine offene Umgebung ${}P_{i}\in V_{i}\subseteq G$

gibt, auf der ${}h$ eine Stammfunktion besitzt. Es ist aber im Moment noch nicht klar, warum es auf ganz ${}U$ eine Stammfunktion geben muss.

$\Box$

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