Offene Mengen/K-Vektorraum/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von 1-Formen/In Koordinaten/Fakt

Es seien ${}V',V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, auf ${}V'$ sei eine Basis mit den Koordinatenfunktionen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ und auf ${}V$ sei eine Basis mit den Koordinatenfunktionen ${}y_{1},\ldots ,y_{m}$ fixiert. Es seien ${}U\subseteq V$ und ${}U'\subseteq V'$ offene Teilmengen, es sei

$\varphi \colon U'\longrightarrow U$

eine total differenzierbare Abbildung und es sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige ${}1$-Differentialform auf ${}U$ mit der Darstellung

${}\omega =\sum _{i=1}^{m}f_{i}dy_{i}\,$

mit Funktionen ${}f_{i}\colon U\rightarrow W$.

Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{m}{\left(f_{i}\circ \varphi \right)}\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}dx_{j}\\\end{aligned}}$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen