Residuum/Punktierte Kreisscheibe/Charakterisierung mit Stammfunktionen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

${}f(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-P)^{n}=c_{-1}(z-P)^{-1}+\sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq -1}c_{n}(z-P)^{n}\,$

die Laurent-Entwicklung von ${}f$ in ${}P$. Entsprechend ist

$f(z)-r{\frac {1}{z-P}}={\left(c_{-1}-r\right)}(z-P)^{-1}+\sum _{n\in \mathbb {Z} ,\,n\neq -1}c_{n}(z-P)^{n}\,.$

Die hintere Summe besitzt lokal nach Fakt und nach Aufgabe eine Stammfunktion. Daher besitzt wegen Beispiel die Gesamtfunktion genau dann eine Stammfunktion, wenn der vordere Term gleich ${}0$ ist, also bei ${}c_{-1}=r$.

Zur bewiesenen Aussage