Meromorphe Funktion/Ordnung/Logarithmische Ableitung/Residuum/Fakt/Beweis

Beweis

Wir können ${}P=0$ annehmen, es sei

{}f(z)=\sum _{n=k}^{\infty }c_{n}z^{n}\,

die Laurent-Entwicklung von ${}f$ im Nullpunkt mit ${}c_{k}\neq 0$ , d.h. ${}k$ ist die Ordnung von ${}f$ im Nullpunkt. Es ist dann

{}f'(z)=\sum _{n=k}^{\infty }nc_{n}z^{n-1}\,.

Der Ansatz

{}{\begin{aligned}f\cdot (kz^{-1}+b_{0}z+b_{1}z^{1}+\ldots )&=(c_{k}z^{k}+c_{k+1}z^{k+1}+\ldots )(kz^{-1}+b_{0}z+b_{1}z^{1}+\ldots )\\&=kc_{k}z^{k-1}+(k+1)c_{k+1}z^{k}+\ldots \\&=f'\end{aligned}}

zeigt, dass die meromorphe Funktion ${}{\frac {f'}{f}}$ mit ${}kz^{-1}$ beginnt und daher das Residuum ${}k$ besitzt.