Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 21

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto {\left(\cos t,\sin t\right)},$

eine Überlagerung ist.

Aufgabe

Es seien ${}\varphi _{n}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$, ${}w\longmapsto w^{n}$, und ${}\varphi _{k}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$, ${}y\longmapsto y^{k}$, Potenzüberlagerungen im Sinne von Beispiel 21.2. Charakterisiere, wann es eine stetige Abbildung

$\theta \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$

gibt, die mit den Potenzabbildungen kommutiert. Ist in diesem Fall ${}\theta$ ebenfalls eine Überlagerung?

Aufgabe *

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom vom Grad ${}\geq 2$ und sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

die zugehörige Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ keine Überlagerung ist.

Aufgabe *

Es seien ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon U\rightarrow V$ eine holomorphe Funktion derart, dass zu allen Punkten ${}P\in V$ die Faser ${}f^{-1}(P)$ aus ${}n$ Punkten besteht. Ferner sei ${}f$ ein lokaler Homöomorphismus. Zeige, dass ${}f$ eine Überlagerung ist.

Aufgabe *

Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[Z]$ ein Polynom. Es sei ${}L$ die Menge der Nullstellen der Ableitung, es sei ${}M$ die Bildmenge zu ${}L$ unter ${}F$ und sei ${}N$ das Urbild von ${}M$ unter ${}F$. Zeige, dass

${\mathbb {C} }\setminus N\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus M$

eine Überlagerung ist.

Aufgabe *

Es sei ${}P=z^{2}+z+1\in {\mathbb {C} }[Z]$ und sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass ${}\varphi \colon \varphi ^{-1}(U)\rightarrow U$ eine Überlagerung ist.

Aufgabe

Es sei ${}F\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ein nichtkonstantes reelles Polynom.

1. Zeige, dass ${}F$ eine Überlagerung wird, wenn man im Definitionsbereich und im Zielbereich endlich viele Punkte herausnimmt.
2. Zeige, dass dabei nur dann eine Überlagerung mit konstanter Blätterzahl entsteht, wenn ${}F$ eine Bijektion ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi _{n}\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$, ${}w\longmapsto w^{n}$, die Potenzüberlagerung im Sinne von Beispiel 21.2 und ${}\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$, ${}w\longmapsto \exp w$, die Exponentialüberlagerung im Sinne von Beispiel 21.3. Zeige, dass es eine stetige Abbildung ${}\theta \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$ derart gibt, dass das Diagramm

${\begin{matrix}{\mathbb {C} }&{\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}&{\mathbb {C} }^{\times }&\\&\!\!\!\!\!\exp \searrow &\downarrow \varphi _{n}\!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {C} }^{\times }&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Ist ${}\theta$ eine Überlagerung?

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung zwischen den topologischen Räumen ${}Y$ und ${}X$ und sei ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge. Zeige, dass

$p{|}_{p^{-1}(T)}\colon p^{-1}(T)\longrightarrow T$

ebenfalls eine Überlagerung ist.

Aufgabe *

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}X$ hausdorffsch. Zeige, dass dann auch ${}Y$ hausdorffsch ist.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine surjektive Überlagerung von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}Y$ hausdorffsch. Zeige, dass dann auch ${}X$ hausdorffsch ist.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen ${}Y$ und ${}X$ und es sei ${}T\subseteq X$ eine Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Zeige, dass ${}p$ genau dann eine Überlagerung ist, wenn die beiden Einschränkungen von ${}p$ auf ${}p^{-1}(T)$ und auf ${}p^{-1}(X\setminus T)$ Überlagerungen sind.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ und sei ${}Z\subseteq X$ eine Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen sei. Zeige, dass dann auch

$p{|}_{Z}\colon Z\longrightarrow X$

eine Überlagerung ist.

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe ${}G$, die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

und die Inversenbildung

$G\longrightarrow G,\,g\longmapsto g^{-1},$

stetige Abbildungen sind.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine topologische Gruppe und sei ${}D\subseteq G$ eine diskrete Untergruppe. Zeige, dass die Quotientenabbildung

$G\longrightarrow G/D$

eine Überlagerung ist.

Interpertiere Beispiel 21.2, Beispiel 21.3 und Aufgabe 21.1 mit Aufgabe 21.14.

Aufgabe

Zeige, dass ein lokaler Homöomorphismus ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine offene Abbildung ist.

Aufgabe

Es sei ${}U\subseteq X$ eine offene Teilmenge eines topologischen Raumes ${}X$. Zeige, dass die Inklusion ${}U\rightarrow X$ genau dann eine Überlagerung ist, wenn ${}U$ abgeschlossen ist.

Aufgabe

Zeige, dass es bei einer Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ zu jedem Punkt ${}x\in X$ eine offene Umgebung ${}x\in U\subseteq X$ und einen stetigen Schnitt ${}s\colon U\rightarrow p^{-1}(U)$ zu ${}p$ gibt.

In den folgenden Aufgaben wird das relative Produkt von Mengen und topologischen Räumen eingeführt.

Aufgabe

Es seien ${}L_{1},L_{2},M$ Mengen und

$p_{1}\colon L_{1}\longrightarrow M$

und

$p_{2}\colon L_{2}\longrightarrow M$

Abbildungen. Wir definieren

${}L_{1}\times _{M}L_{2}:={\left\{(x_{1},x_{2})\mid p_{1}(x_{1})=p_{2}(x_{2})\right\}}\subseteq L_{1}\times L_{2}\,.$

1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

   ${\begin{matrix}L_{1}\times _{M}L_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L_{1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\L_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   gibt.

2. Es sei ${}T$ eine weitere Menge und ${}\psi _{1}\colon T\rightarrow L_{1}$ und ${}\psi _{2}\colon T\rightarrow L_{2}$ Abbildungen mit

   ${}p_{1}\circ \psi _{1}=p_{2}\circ \psi _{2}\,.$

   Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

   $\psi \colon T\longrightarrow L_{1}\times _{M}L_{2}$

   derart gibt, dass die Projektionen auf ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$ mit ${}\psi _{1},\psi _{2}$ übereinstimmen.

Aufgabe

Es seien ${}L_{1},L_{2},M$ topologische Räume und

$p_{1}\colon L_{1}\longrightarrow M$

und

$p_{2}\colon L_{2}\longrightarrow M$

stetige Abbildungen. Wir definieren

${}L_{1}\times _{M}L_{2}:={\left\{(x_{1},x_{2})\mid p_{1}(x_{1})=p_{2}(x_{2})\right\}}\subseteq L_{1}\times L_{2}\,$

mit der induzierten Topologie.

1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

   ${\begin{matrix}L_{1}\times _{M}L_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L_{1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\L_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   mit stetigen Abbildungen gibt.

2. Es sei ${}T$ ein weiterer topologischer Raum und ${}\psi _{1}\colon T\rightarrow L_{1}$ und ${}\psi _{2}\colon T\rightarrow L_{2}$ stetige Abbildungen mit

   ${}p_{1}\circ \psi _{1}=p_{2}\circ \psi _{2}\,.$

   Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung

   $\psi \colon T\longrightarrow L_{1}\times _{M}L_{2}$

   derart gibt, dass die Projektionen auf ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$ mit ${}\psi _{1},\psi _{2}$ übereinstimmen.

In der Situation der beiden vorstehenen Aufgaben bezeichnet man ${}L_{1}\times _{M}L_{2}$ (mit der Projektion auf ${}L_{2}$) auch als ${}p_{2}^{*}L_{1}$ bzw. als ${}p_{1}^{*}L_{2}$, die Vorstellung ist dabei, dass man das Objekt ${}p_{1}\colon L_{1}\rightarrow M$ längs ${}p_{2}$ auf die neue Basis ${}L_{2}$ zurückzieht.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$. Zeige, das für das relative Produkt die Beziehung

${}X\times _{X}Y\cong Y\,$

gilt (wobei ${}X\rightarrow X$ die Identität sei).

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$. Es sei ${}x\in X$ ein Punkt mit der zugehörigen Abbildung

$\iota \colon \{x\}\longrightarrow X.$

Zeige, das für das relative Produkt die Beziehung

${}\{x\}\times _{X}Y\cong Y_{x}\,$

gilt, also das relative Produkt mit der Faser übereinstimmt.

Aufgabe

Es seien ${}X,U$ und ${}V$ topologische Räume und seien ${}p_{1}\colon X\times U\rightarrow X$ und ${}p_{2}\colon X\times V\rightarrow X$ die kanonischen Projektionen nach ${}X$. Zeige, das für das relative Produkt die Beziehung

${}{\left(X\times U\right)}\times _{X}{\left(X\times V\right)}\cong X\times U\times V\,$

gilt.

Aufgabe

Es seien ${}X,Y$ und ${}Z$ topologische Räume und seien ${}\varphi \colon Y\rightarrow X$ und ${}p\colon Z\rightarrow X$ stetige Abbildungen. Es sei

$p_{Y}\colon Y\times _{X}Z\longrightarrow Y.$

Zeige, dass ein stetiger Schnitt ${}s\colon Y\rightarrow Y\times _{X}Z$ das gleiche ist wie eine stetige Abbildung ${}t\colon Y\rightarrow Z$ mit ${}p\circ t=\varphi$.

Aufgabe

Es seien ${}X,Y,Z$ und ${}X'$ topologische Räume und es liege ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen

${\begin{matrix}&Y&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&Z\\&&\searrow &\downarrow \\&X'&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&X\end{matrix}}$

vor. Es sei ${}Y'=\varphi ^{*}Y=Y\times _{X}X'$ und ${}Z'=\varphi ^{*}Z=Z\times _{X}X'$. Zeige, dass ein kommutatives Diagramm

${\begin{matrix}&Y'&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&Z'\\&&\searrow &\downarrow \\&&&X'\end{matrix}}$

vorliegt.

Aufgabe

Es seien ${}X,Y,Z$ und ${}W$ topologische Räume und seien ${}W\rightarrow X$ und

$Z{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}Y{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}X$

stetige Abbildungen. Zeige, dass das relative Produkt (beziehungsweise der Rückzug) die Beziehung

${}\varphi ^{*}{\left(\psi ^{*}W\right)}=Z\times _{Y}{\left(Y\times _{X}W\right)}=Z\times _{X}W=(\psi \circ \varphi )^{*}W\,$

erfüllt.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung zwischen den topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$ und es sei ${}\varphi \colon Z\rightarrow X$ eine stetige Abbildung. Zeige, dass das relative Produkt

$Z\times _{X}Y\longrightarrow Z$

ebenfalls eine Überlagerung ist.

Aufgabe

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ ein lokaler Homöomorphismus zwischen den topologischen Räumen ${}Y$ und ${}X$, wobei ${}Y$ ein Hausdorffraum sei. Zeige, dass es dann zu einem stetigen Weg ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ höchstens eine stetige Liftung

${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow Y$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}F\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ein reelles Polynom. Zeige, dass es im Allgemeinen keine Liftung zu ${}F$ längs eines stetigen Weges ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R}$ gibt.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto z^{n},$

das komplexe Potenzieren zum Exponenten ${}n$. Zeige, dass die Liftung eines geschlossenen stetigen Weges ${}\gamma$ genau dann geschlossen ist, wenn ${}\gamma$ homotop zur ${}n$-fachen Hintereinanderlegung eines geschlossenen Weges ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein einfach zusammenhängender topologischer Raum und ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung. Zeige, dass ${}p$ trivial ist.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und ${}P\in G$ ein Punkt. Es sei ${}\operatorname {Aut} _{P}(G)$ die Gruppe der biholomorphen Autormorphismen von ${}G$ mit ${}P$ als Fixpunkt. Zeige, dass ein natürlicher Gruppenhomomorphismus

$\operatorname {Aut} _{P}(G)\longrightarrow \operatorname {Aut} (\pi (G,P))$

vorliegt.

Aufgabe

Analysiere die Abbildung aus Aufgabe 21.31 für

${}G={\mathbb {C} }\setminus \{0\}\,$

mit dem Aufpunkt ${}P=1$ (vergleiche Satz 18.9).

Aufgabe

Analysiere die Abbildung aus Aufgabe 21.31 für

${}G={\mathbb {C} }\setminus \{-1,1\}\,$

mit dem Aufpunkt ${}P=0$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}p_{1}\colon Y_{1}\rightarrow X_{1}$ und ${}p_{2}\colon Y_{2}\rightarrow X_{2}$ Überlagerungen. Zeige, dass auch

$p_{1}\times p_{2}\colon Y_{1}\times Y_{2}\longrightarrow X_{1}\times X_{2}$

eine Überlagerung ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorph. Zeige, dass ${}f$ genau dann ein lokaler Homöomorphismus ist, wenn ${}f'(z)\neq 0$ für alle ${}z\in U$ gilt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}P=z^{2}-3z+{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }[Z]$ und sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto P(z),$

die zugehörige Abbildung. Bestimme den maximalen Ort ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass ${}\varphi \colon \varphi ^{-1}(U)\rightarrow U$ eine Überlagerung ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto z^{n},$

das komplexe Potenzieren zum Exponenten ${}n$. Beschreibe den zugehörigen Gruppenhomomorphismus

$\pi (\varphi )\colon \pi _{1}({\mathbb {C} }\setminus \{0\})\longrightarrow \pi _{1}({\mathbb {C} }\setminus \{0\}).$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}U={\mathbb {C} }\setminus \{P_{1},\ldots ,P_{n}\}$. Zeige, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(U)\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}$

gibt.