Einheitskreis/Trigonometrische Parametrisierung/Stetigkeit über Komponenten/Beispiel

Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto f(t)=(\cos t,\sin t).$

Einer reellen Zahl ${}t$ (im Bogenmaß) wird dabei der zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis

${}S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

zugeordnet. Diese Abbildung ist periodisch mit der Periode ${}2\pi$. Sie ist stetig, da die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus nach Fakt stetig sind und daraus nach Fakt die Stetigkeit der Gesamtabbildung folgt.