Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
$\Complex$-\definitionsverweis {antilinear}{}{}
ist, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi ( { \mathrm i} v)
}
{ = }{ - { \mathrm i} \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den linearen und den antilinearen Anteil der folgenden reell-linearen Abbildungen. \aufzaehlungvier{Die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} \maabbeledisp {} {\Complex} { \Complex } {z} { \overline{ z } } {.} }{Der \definitionsverweis {Realteil}{}{} \maabbeledisp {} {\Complex} { \Complex } {z} { \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } } {.} }{Der \definitionsverweis {Imaginärteil}{}{} \maabbeledisp {} {\Complex} { \Complex } {z} { \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } } {.} }{Die \definitionsverweis {Identität}{}{} \maabbeledisp {} {\Complex} { \Complex } {z} { z } {.} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und es seien
\maabbdisp {\varphi_1, \varphi_2} {V} {W
} {}
$\Complex$-\definitionsverweis {antilinear}{}{.}
Zeige, dass auch
\mathl{\varphi_1 + \varphi_2}{} antilinear ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {komplexe}{}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine reell-lineare Abbildung. Zeige, dass $\varphi$ genau dann die Nullabbildung ist, wenn sie sowohl komplex-linear als auch $\Complex$-\definitionsverweis {antilinear}{}{} ist
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
$\Complex$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und es seien
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
und
\maabbdisp {\psi} {V} {V
} {}
\definitionsverweis {antilineare}{}{}
Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung
\mathl{\varphi \circ \psi}{}
\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $V_1 , \ldots , V_n, V_{n+1}$
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über ${\mathbb C}$, es seien
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_{i+1}
} {}
\definitionsverweis {lineare}{}{}
oder
\definitionsverweis {antilineare}{}{}
Abbildungen und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \varphi_n \circ \varphi_{n-1} \circ \cdots \circ \varphi_2 \circ \varphi_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
der Abbildungen. Zeige durch Induktion über $n$ die beiden folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist $\varphi$ linear.
} {Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist $\varphi$ antilinear.
}
Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Zerlegung in den ${\mathbb C}$-linearen und den
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen}{}{}
Anteil der
$\R$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {,}
die bezüglich der reellen
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} -5 & 4 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}}{} beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungzwei {Drücke die Abbildungen
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {z^k
} {}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ 0 , \ldots , 5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in reellen Koordinaten aus.
} {Drücke die Abbildungen
\maabbeledisp {} {{\mathbb C} \setminus \{ 0 \}} {{\mathbb C}
} {z} {z^k
} {}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ -1,-2,-3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in reellen Koordinaten aus.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Drücke die Abbildung \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C} } {z} {2z^3-z^2+3z+2- { \mathrm i} } {,} in reellen Koordinaten aus. Berechne das reelle \definitionsverweis {totale Differential}{}{} dieser Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beschreibe die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\psi} { \Complex \setminus \{1\} } { \Complex } {w} { { \frac{ (w+1) { \mathrm i} }{ 1-w } } } {} in reellen Koordinaten.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\psi} { \R^2 \setminus \{ (1,0 )\} } { \R^2 } { \begin{pmatrix} a \\b \end{pmatrix} } { { \frac{ 1 }{ -2a+1+a^2+b^2 } } \begin{pmatrix} -2b \\1-a^2-b^2 \end{pmatrix} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe eine
\definitionsverweis {gebrochen-lineare Funktion}{}{}
\mathl{{ \frac{ az+b }{ cz+d } }}{} als eine reelle Funktion von
\zusatzklammer {einer offenen Teilmenge von} {} {}
$\R^2$ nach $\R^2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {(x+y { \mathrm i}) } { 2x-3y +xy^2+ { \left( x^2-xy- y^5 \right) } { \mathrm i}
} {.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
$\left(Df\right)_{P}$ von $f$ bezüglich der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {}
in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials $\left(Df\right)_{P}$ in den ${\mathbb C}$-linearen und den
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen}{}{}
Anteil.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {(x+y { \mathrm i}) } { \sin \left( xy \right) + { \left( x^3-xy^2 +2 y^4 \right) } { \mathrm i}
} {.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme das
\definitionsverweis {totale Differential}{}{}
$\left(Df\right)_{P}$ von $f$ bezüglich der
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {}
in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials $\left(Df\right)_{P}$ in den ${\mathbb C}$-linearen und den
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen}{}{}
Anteil.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Abbildung
\maabbdisp {} {{\mathbb C} \cong \R^2 } { \R^2 \cong {\mathbb C}
} {,}
welche in reellen Koordinaten durch
\mathl{(x,y) \mapsto (x^3-xy^2,5x^2y^2-y)=(g,h)}{} gegeben ist. Berechne das reelle totale Differential und überprüfe, ob die
Cauchy-Riemann Differentialgleichungen
gelten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbeledisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } { z } { f(z) } {,} eine \definitionsverweis {komplex differenzierbar}{}{} Funktion mit der Eigenschaft, dass der Wertebereich reell ist. Zeige, dass $f$ konstant ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Realteil}{}{,}
also die Funktion
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} { z } {
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) }
} {,}
in keinem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die reell \definitionsverweis {total differenzierbare}{}{} Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {x+ y { \mathrm i} } { x^2-y^2+xy + { \left( x^3-xy+y \right) } { \mathrm i} } {.} Bestimme die Punkte, in denen $\varphi$ \definitionsverweis {komplex differenzierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Charakterisiere diejenigen
\definitionsverweis {komplex differenzierbaren}{}{}
Abbildungen
\maabbdisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{
\operatorname{Re} \, { \left( f(z) \right) }
}
{ =} {
\operatorname{Re} \, { \left( z \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Charakterisiere diejenigen zweifach \definitionsverweis {komplex differenzierbaren}{}{} Abbildungen \maabbdisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {,} die \definitionsverweis {flächentreu}{}{} sind \zusatzklammer {das bedeutet, dass die Determinante der reellen Jacobimatrix konstant gleich $1$ ist} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{}
Funktion auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g+h { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Funktionaldeterminante}{}{}
der reellen
\definitionsverweis {Jacobimatrix}{}{}
zu $f$ nur von $g$ abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {U} { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {komplex differenzierbare}{}{}
Funktion auf einer
\definitionsverweis {offenen Teilmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Zerlegung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g+h { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Funktionaldeterminante}{}{}
der reellen
\definitionsverweis {Jacobimatrix}{}{}
zu $f$ nur von $h$ abhängt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man in Korollar 3.8 nicht auf die Voraussetzung, dass $G$ ein \definitionsverweis {Gebiet}{}{} ist, verzichten kann.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte die komplex-lineare Abbildung
\maabb {L} {{\mathbb C}^2} {{\mathbb C}^2
} {,}
die durch die
\mathl{2 \times 2}{-}Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 & 3+4 { \mathrm i} \\ 2-2 { \mathrm i} & { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
gegeben ist. Bestimme die zugehörige Matrix, welche die gleiche lineare Abbildung
\maabb {} { \R^4 } { \R^4
} {}
beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
${\mathbb C}$, es sei $V$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{}
und es sei
\mathbed {v_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Es seien
\mathbed {w_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
Elemente in $W$. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte
$\Complex$-\definitionsverweis {antilineare}{}{}
Abbildung
\maabbdisp {f} {V} {W
} {}
mit
\mathdisp {f(v_j)= w_j \text { für alle } j\in J} { }
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
${\mathbb C}$ und es bezeichne
\mathl{\operatorname{Hom}_{ \R } { \left( V, W \right) }}{} die Menge der reell-linearen Abbildungen,
\mathl{\operatorname{Hom}_{ \Complex } { \left( V, W \right) }}{} die Menge der komplex-linearen Abbildungen und
\mathl{\operatorname{Hom}_{ \text{ anti} } { \left( V, W \right) }}{} die Menge der antilinearen Abbildungen. Zeige, dass die Abbildungen
\maabbdisp {} { \operatorname{Hom}_{ \R } { \left( V, W \right) } } {\operatorname{Hom}_{ \Complex } { \left( V, W \right) }
} {}
und
\maabbdisp {} { \operatorname{Hom}_{ \R } { \left( V, W \right) } } {\operatorname{Hom}_{ \text{anti} } { \left( V, W \right) }
} {,}
die eine reell-lineare Abbildung auf ihren $\Complex$-linearen bzw. $\Complex$-antilinearen Anteil abbilden, reell-linear sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Zeige, dass es eine \zusatzklammer {reell} {} {} \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildung \maabbdisp {f} {\R^2} { \R^2 } {} derart gibt, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ gleich der eindimensionalen \definitionsverweis {Sphäre}{}{} $S^1$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Wir betrachten die reell \definitionsverweis {total differenzierbare}{}{} Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {x+ y { \mathrm i} } { x^2y-y^3+xy^2 + { \left( x^2-3xy-2y^2 \right) } { \mathrm i} } {.} Bestimme die Punkte, in denen $\varphi$ komplex-differenzierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\maabb {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
Funktion mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(z) }
}
{ =} { \betrag { z }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ eine Drehung um den Nullpunkt ist.
}
{} {}