Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Arbeitsblatt 9/latex

\setcounter{section}{9}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Einheiten}{}{} von $\Z$ und von
\mathl{K[X]}{,} wobei $K$ ein Körper sei.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ folgende Teilbarkeitsbeziehungen gelten. \aufzaehlungzwei {Sind $a$ und $b$ \definitionsverweis {assoziiert}{}{,} so gilt
\mathl{a | c}{} genau dann, wenn $b | c$. } {Ist $R$ ein \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{,} so gilt hiervon auch die Umkehrung. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$ zwei Elemente \mathkor {} {a} {und} {b} {} genau dann \definitionsverweis {assoziiert}{}{} sind, wenn für die \definitionsverweis {Hauptideale}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Ra }
{ = }{ Rb }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine fixierte Primzahl. Zu jeder ganzen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bezeichne $\nu_p(n)$ den Exponenten, mit dem die Primzahl $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt.

a) Zeige: die Abbildung \maabb {\nu_p} { \Z \setminus \{0\} } { \N } {} ist surjektiv.

b) Zeige: es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu_p(nm) }
{ = }{ \nu_p (n)+ \nu_p(m) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

c) Finde eine Fortsetzung \maabb {\nu_p} { \Q \setminus \{0\} } { \Z } {} der gegebenen Abbildung, die ein Gruppenhomomorphismus ist \zusatzklammer {wobei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \Q^{\times} }
{ = }{ \Q \setminus \{0\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Multiplikation und $\Z$ mit der Addition versehen ist} {} {.}

d) Beschreibe den Kern des unter c) beschriebenen Gruppenhomomorphismus.

}
{} {}


Zu einem Element \mathind { f \in R } { f \neq 0 }{,} in einem \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Primelement}{}{} $p$ heißt die Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{up^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $u$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} bezeichnet, die \definitionswort {Ordnung}{} von $f$. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{ord} \, (f)}{} bezeichnet.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {maximalem Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{ (p) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} \maabbeledisp {} {R \setminus \{0\} } { \N } {f} {\operatorname{ord} \, (f) } {,} folgende Eigenschaften besitzt. \aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (fg) }
{ = }{ \operatorname{ord} \, (f) + \operatorname{ord} \, (g) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f+g) }
{ \geq }{ \operatorname{min} \left( \operatorname{ord} \, (f) ,\, \operatorname{ord} \, (g) \right) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ {\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f) }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ \in }{ R^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (f) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}


Zu einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} $R$ ist der \definitionswort {Quotientenkörper}{}
\mathl{Q(R)}{} als die Menge der formalen Brüche
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(R) }
{ =} { { \left\{ \frac{r}{s} \mid r, s \in R , \, s \neq 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit natürlichen Identifizierungen und Operationen definiert.





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} mit \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} $Q$. Zeige, dass es keinen echten Zwischenring zwischen $R$ und $Q$ gibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{.} Definiere zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,} die Ordnung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (q) }
{ \in} { \Z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei soll die Definition mit der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} für Elemente aus $R$ übereinstimmen und einen Gruppenhomomorphismus \maabb {} {Q(R) \setminus \{0\} } { \Z } {} definieren. Was ist der Kern dieses Homomorphismus?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei \maabbdisp {\nu} {(K^\times, \cdot,1)} { (\Z,+,0) } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \nu(f+g) }
{ \geq }{\min\{ \nu(f) , \nu(g)\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f,g }
{ \in }{ K^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R }
{ =} { { \left\{ f \in K^\times \mid \nu(f) \geq 0 \right\} } \cup \{0\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $K[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und
\mathl{K(X)}{} der \definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R }
{ =} { { \left\{ f \in K(X) \mid f \text{ ist im Punkt } a \text{ definiert} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass $R$ ein Unterring von $K(X)$ ist. }{Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R }
{ =} { K[X]_{(X-a)} }
{ \defeq} { { \left\{ { \frac{ P }{ Q } } \mid Q \text{ ist (nach Kürzung) kein Vielfaches von } X-a \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Zeige, dass $R$ ein \definitionsverweis {diskreter Bewertungsring}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathbed {f \in {\mathbb C}[X]} {}
{f \neq 0} {}
{} {} {} {,} und
\mathl{a \in {\mathbb C}}{.} Zeige, dass die folgenden \anfuehrung{Ordnungen}{} von $f$ an der Stelle $a$ übereinstimmen. \aufzaehlungdrei{Die Verschwindungsordnung von $f$ an der Stelle $a$, also die maximale Ordnung einer Ableitung mit
\mathl{f^{(k)}(a) =0}{.} }{Der Exponent des Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in der Zerlegung von $f$ in irreduzible Polynome. }{Die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $f$ an der Lokalisierung
\mathl{{\mathbb C}[X]_{(X-a)}}{} von
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} am maximalen Ideal
\mathl{(X-a)}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe eine formale Potenzreihe über ${\mathbb C}$, die in keiner Umgebung des Nullpunktes konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Ring der formalen Potenzreihen}{}{}
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} in einer Variablen über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} ist.

}
{} {}


Es seien \mathkor {} {R} {und} {S} {} \definitionsverweis {Ringe}{}{.} Eine Abbildung \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} heißt \definitionswort {Ringhomomorphismus}{,} wenn folgende Eigenschaften gelten: \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(a+b) }
{ = }{\varphi(a) + \varphi(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(1) }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(a \cdot b) }
{ = }{\varphi(a) \cdot \varphi(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }





\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} der \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbdisp {} {K[ \![T]\! ] } { K } {,} die einer Potenzreihe ihren konstanten Koeffizienten zuordnet, ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper,
\mathl{{\mathfrak m}=(T)\subset K[T]}{} das zum Nullpunkt gehörige maximale Ideal mit der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{R=K[T]_{\mathfrak m}}{.} Definiere einen $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {K[ \![T]\! ] } {} mit
\mathl{\varphi(T)=T}{,} wobei
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} den \definitionsverweis {Ring der formalen Potenzreihen}{}{} bezeichnet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m} }
{ = }{(T) }
{ \subset }{ K[T] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das zum Nullpunkt gehörige \definitionsverweis {maximale Ideal}{}{} mit der \definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K[T]_{\mathfrak m} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei \maabbdisp {} {R} { K[ \![T]\! ] } {} der $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{} aus Aufgabe 9.14. Zeige, dass sich unter dieser Abbildung die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von Elementen nicht ändert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $K(T)$ der \definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{} über $K$. Finde einen \definitionsverweis {diskreten Bewertungsring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ \subseteq }{ K(T) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q(R) }
{ = }{ K(T) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R \cap K[T] }
{ = }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} der \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{.} Man gebe die inverse Potenzreihe zu
\mathl{1+T}{} an.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{ Z^2+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Potenzreihe zu
\mathl{{ \frac{ 1 }{ F } }}{} bis zur vierten Ordnung.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ = }{ K[ \![T]\! ] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Potenzreihenring}{}{} Zeige, dass es in $R$ keine Quadratwurzel für $T$ gibt. Zeige ferner, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ = }{ \Z/(7) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das Element
\mathl{T+2}{} eine Quadratwurzel in $R$ besitzt, und bestimme die ersten fünf Koeffizienten von einer Quadratwurzel davon.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Eine
\definitionswortenp{formale Laurentreihe mit endlichem Hauptteil}{} ist eine unendliche Summe der Form
\mathdisp {F= \sum_{n=k}^\infty a_n T^n \text{ mit } a_n \in K \text{ und } k \in \Z} { . }
Zeige, dass der Ring dieser formalen Reihen \zusatzklammer {mit geeigneten Ringoperationen} {} {} isomorph zum \definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des \definitionsverweis {Potenzreihenringes}{}{}
\mathl{K[ \![T]\! ]}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man die konstante \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht sinnvoll in beliebige Potenzreihen einsetzen kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne die ersten fünf Glieder (bis einschließlich $c_4$) der eingesetzten Potenzreihe $F(G)$ im Sinne von Definition 9.18.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (S-1)^2-1 }
{ =} { S^2-2S }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Q$ die Umkehrreihe bis zur Ordnung $4$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne zum Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ = }{ 2S^3 +S^2+S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über dem Körper $\Z/(3)$ die Koeffizienten
\mathl{a_0,a_1,a_2,a_3}{} der Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F }
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty a_n T^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(G) }
{ = }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ = }{ {\sum }_{ j=0 }^{ \infty } b_{ j } S ^{ j } }
{ \in }{ K[ \![S]\! ] }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine formale Potenzreihe mit \mathkon { b_0 =0 } { und } { b_1 = 1 }{ ,} die wir als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ = }{ S+S^2 H(S) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} schreiben. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{ {\sum }_{ n=0 }^{ \infty } a_{ n } T ^{ n } }
{ \in }{ KT }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Potenzreihe mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(G) }
{ = }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G(F) }
{ = }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F }
{ = }{ T- F^2 \cdot H(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Assoziiertheit}{}{} in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {Kosinusreihe}{}{} die Potenzreihe zu
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \cos z } }}{} bis zur vierten Ordnung.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (S-1)^3+1 }
{ =} { S^3-3S^2+3S }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Q$ die Umkehrreihe bis zur Ordnung $4$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Berechne zum Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ = }{ 3S^4+ S^3 +2S^2+3S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} über dem Körper $\Z/(5)$ die Koeffizienten
\mathl{a_0,a_1,a_2,a_3,a_4}{} der Potenzreihe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F }
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty a_n T^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F(G) }
{ = }{ S }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}