Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Liste der Hauptsätze

???: Komplexe Partialbruchzerlegung

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {C} }[X]$, ${}Q\neq 0$, Polynome und es sei

${}Q=(X-a_{1})^{r_{1}}\cdots (X-a_{s})^{r_{s}}\,$

mit verschiedenen ${}a_{i}\in {\mathbb {C} }$.

Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom ${}H\in {\mathbb {C} }[X]$ und eindeutig bestimmte Koeffizienten ${}c_{ij}\in {\mathbb {C} }$, ${}1\leq i\leq s$, ${}1\leq j\leq r_{i}$, mit

${}{\frac {P}{Q}}=H+{\frac {c_{11}}{X-a_{1}}}+{\frac {c_{12}}{(X-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{1r_{1}}}{(X-a_{1})^{r_{1}}}}+\cdots +{\frac {c_{s1}}{X-a_{s}}}+{\frac {c_{s2}}{(X-a_{s})^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{sr_{s}}}{(X-a_{s})^{r_{s}}}}\,.$

 

???: Matrizen und gebrochen-lineare Funktionen

Die Abbildung

$\operatorname {GL} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}\longrightarrow \operatorname {Rat} ({\mathbb {C} },{\mathbb {C} }),\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto {\left(z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\right)},$

die einer invertierbaren Matrix die zugehörige gebrochen-lineare Funktion zuordnet,

ist ein Gruppenhomomorphismus, dessen Bild die Gruppe der gebrochen-linearen Abbildungen ist und dessen Kern aus den Streckungsmatrizen ${}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}$ mit ${}s\neq 0$ besteht.

 

???: Holomorphie und antiholomorphe Ableitung

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung.

Genau dann ist ${}f$ auf ${}G$ komplex differenzierbar, wenn ${}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0$ auf ${}G$ gilt.

In diesem Fall ist

${}f'={\frac {\partial f}{\partial z}}\,.$

 

???: Winkeltreue und komplexe Differenzierbarkeit

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung derart, dass das totale Differential in jedem Punkt invertierbar sei.

Dann ist ${}f$ auf ${}G$ genau dann komplex differenzierbar, wenn ${}\left(Df\right)_{P}$ in jedem Punkt ${}P\in G$ winkeltreu und orientierungstreu ist.

 

???: Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt ${}P\in G$ reell total differenzierbare Abbildung. Es sei ${}f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Sei ${}z=x+{\mathrm {i} }y$.

Dann ist ${}f$ genau dann in ${}P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen

${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$

gelten.

 

???: Umkehrfunktion in einer Variablen (C)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit ${}f'(P)\neq 0$.

Dann gibt es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ und eine offene Umgebung ${}f(P)\in W\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass die Einschränkung von ${}f$ auf ${}V$ biholomorph zu ${}W$ ist.

 

???: Wurzeln aus holomorphen Funktionen

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit ${}f(P)\neq 0$. Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ und eine holomorphe Funktion ${}h\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}f=h^{k}$.

 

???: Geometrische Reihe

Für alle komplexen Zahlen ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert <1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$

 

???: Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

Für komplexe Zahlen ${}z,w\in {\mathbb {C} }$ gilt

${}\exp \left(z+w\right)=\exp z\cdot \exp w\,.$

 

???: Konvergenzverhalten einer Potenzreihe

Es sei ${}{\left(c_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge komplexer Zahlen und ${}a\in {\mathbb {C} }$. Die Potenzreihe

${}f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$

sei für eine komplexe Zahl ${}z=b$, ${}b\neq a$, konvergent.

Dann ist für jeden reellen Radius ${}r$ mit ${}0<r<\vert {b-a}\vert$ die Potenzreihe ${}f(z)$ auf der abgeschlossenen Kreisscheibe ${}B\left(a,r\right)$ punktweise absolut und gleichmäßig konvergent.

 

???: Stetigkeit einer Potenzreihe

Es sei

${}f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$

eine Potenzreihe mit einem positiven Konvergenzradius ${}r$.

Dann stellt die Potenzreihe ${}f(z)$ auf der offenen Kreisscheibe ${}U{\left(a,r\right)}$ eine stetige Funktion dar.

 

???: Entwicklungssatz für Potenzreihen

Es sei

${}f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\,$

eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$ und sei ${}b\in U{\left(a,R\right)}$.

Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe

${}h=\sum _{i=0}^{\infty }d_{i}(z-b)^{i}\,$

mit Entwicklungspunkt ${}b$ und mit einem Konvergenzradius ${}s\geq R-\vert {a-b}\vert >0$ derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf ${}U{\left(a,R\right)}\cap U{\left(b,s\right)}$ übereinstimmen.

Die Koeffizienten von ${}h$ sind

${}d_{i}=\sum _{n=i}^{\infty }{\binom {n}{i}}c_{n}(b-a)^{n-i}\,$

und insbesondere ist

${}d_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }nc_{n}(b-a)^{n-1}\,.$

 

???: Formel von Cauchy-Hadamard

Für den Konvergenzradius ${}R$ einer komplexen Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}$

gilt

${}R={\frac {1}{\limsup {\sqrt[{n}]{\vert {c_{n}}\vert }}}}\,.$

 

???: Nullreihensatz für Potenzreihen

Es sei ${}f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$ eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius und derart, dass die Nullstellen von ${}f$ einen Häufungspunkt innerhalb der offenen Konvergenzscheibe besitzen.

Dann liegt die Nullreihe vor.

 

???: Ableitung von Potenzreihe

Es sei

${}g=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,$

eine

konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ${}R>0$.

Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe

${}{\tilde {g}}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(z-a)^{n-1}\,$

konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe ${}g$ dargestellte Funktion ${}f$ ist in jedem Punkt ${}z\in U{\left(a,R\right)}$ differenzierbar mit

${}f'(z)={\tilde {g}}(z)\,.$

 

???: Potenzreihen und Einheiten

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[\![T]\!]$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen.

Dann ist eine formale Potenzreihe ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term ${}a_{0}\neq 0$ ist.

 

???: Potenzreihenring in einer Variablen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring in einer Variablen.

Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring.

 

???: Umkehrreihe zu formaler Potenzreihe

Es sei ${}K$ ein Körper mit dem Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$. Es sei ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}S^{j}\in K[\![S]\!]$ eine Potenzreihe mit $b_{0}=0$ und $b_{1}\neq 0$.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Potenzreihe ${}F\in K[\![T]\!]$ mit

${}F(G)=S\,.$

 

???: Geschlossene und exakte Differentialform

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige exakte stetig differenzierbare ${}1$- Differentialform auf ${}U$.

Dann ist ${}\omega$ geschlossen.

 

???: Holomorphe und geschlossene Differentialform

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, sei ${}f=g+h{\mathrm {i} }\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Abbildung mit reell total differenzierbare reellwertigen Koeffizientenfunktionen ${}g,h\colon U\rightarrow \mathbb {R}$. Wir betrachten die ${}{\mathbb {C} }$-wertige Differentialform auf ${}U$ mit der Darstellung

${}\omega =fdz={\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}d{\left(x+y{\mathrm {i} }\right)}={\left(g+h{\mathrm {i} }\right)}dx+{\left(g{\mathrm {i} }-h\right)}dy\,.$

Dann ist ${}f$ genau dann komplex differenzierbar, wenn ${}\omega$ eine geschlossene Differentialform ist.

 

???: Wegintegrale bei exakter Differentialform

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige stetige ${}1$- Differentialform auf ${}U$. Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U'$

ein stückweise stetig differenzierbarer Weg. Es sei ${}\omega$ exakt mit der Stammform ${}\varphi$.

Dann ist

${}\int _{\gamma }\omega =\varphi (\gamma (b))-\varphi (\gamma (a))\,.$

 

???: Geschlossene Differentialform auf sternförmiger Menge

Es seien ${}V,W$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräume, sei ${}U\subseteq V$ eine sternförmige offene Teilmenge und sei ${}\omega$ eine ${}W$-wertige stetig differenzierbare ${}1$- Differentialform auf ${}U$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Es ist ${}\omega$ exakt.
2. Es ist ${}\omega$ geschlossen.
3. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }\omega$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.

 

???: Lemma von Goursat (Quadratversion)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und sei ${}Q\subseteq U$ ein achsenparalleles abgeschlossenes Quadrat, und sei

$\gamma \colon I\longrightarrow R$

der stetige stückweise lineare Weg, der den Rand von ${}Q$ gleichmäßig durchläuft.

Dann ist

${}\int _{\gamma }fdz=0\,.$

 

???: Integralsatz von Cauchy für die Kreisscheibe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei ${}B\left(P,r\right)\subseteq U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow B$

der stetige Weg, der den Rand von ${}B$ gleichmäßig durchläuft.

Dann ist

${}\int _{\gamma }fdz=0\,.$

 

???: Integralsatz von Cauchy für Kreisringe

Es seien ${}P,Q\in {\mathbb {C} }$ und seien Radien ${}r,s$ gegeben mit ${}B\left(P,r\right)\subseteq B\left(Q,s\right)$. Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, die ${}B\left(Q,s\right)\setminus U{\left(P,r\right)}$ umfasst. Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion.

Dann gilt für die gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Randwege ${}\gamma$ bzw. ${}\delta$ der beiden Kreise die Gleichheit

${}\int _{\gamma }fdz=\int _{\delta }fdz\,.$

 

???: Integralformel von Cauchy für die Kreisscheibe

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion. Es sei ${}B\left(P,r\right)\subseteq U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe und es sei

$\gamma \colon I\longrightarrow B$

der stetige Weg, der den Rand von ${}B$ gleichmäßig durchläuft. Es sei ${}a\in U{\left(P,r\right)}$.

Dann ist

${}f(a)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}dz\,.$

 

???: Potenzreihenentwicklungssatz von Cauchy

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine komplex differenzierbare Funktion und ${}a\in U$ ein Punkt.

Dann wird ${}f$ in einer Umgebung von ${}a$ durch die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ beschrieben, wobei die Koeffizienten durch

${}c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,$

gegeben sind, und ${}\gamma$ einen einfachen Umlaufweg um ${}a$ innerhalb von ${}U$ bezeichnet.

 

???: Hauptsatz über holomorphe Funktionen

Für eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist komplex differenzierbar.
2. ${}f$ ist unendlich oft (stetig) komplex differenzierbar.
3. ${}f$ lässt sich in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln, d.h. ${}f$ ist komplex-analytisch.

 

???: Riemannscher Hebbarkeitssatz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen, ${}P\in G$ ein Punkt und ${}f\colon G\setminus \{P\}\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. Es gibt eine stetige Fortsetzung

   ${\tilde {f}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   von ${}f$.

2. Der Betrag von ${}f$ ist in einer offenen Umgebung von ${}P$ beschränkt.
3. Es ist

   ${}\operatorname {lim} _{z\rightarrow P}\,(z-P)f(z)=0\,.$

4. Es gibt eine holomorphe Fortsetzung

   ${\tilde {f}}\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

   von ${}f$.

 

???: Satz über die Nullstellen einer holomorphen Funktion (C)

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine von der Nullfunktion verschiedene holomorphe Funktion.

Dann ist die Nullstellenmenge von ${}f$ diskret und abgeschlossen (in ${}U$).

 

???: Identitätssatz für holomorphe Funktionen

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen. Die Übereinstimmungsmenge von ${}f$ und ${}g$, also ${}{\left\{z\in U\mid f(z)=g(z)\right\}}$ besitze einen Häufungspunkt in ${}U$.

Dann ist ${}f=g$.

 

???: Maximumsprinzip für holomorphe Funktionen

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt ${}a\in G$ mit

${}\vert {f(z)}\vert \leq \vert {f(a)}\vert \,$

für alle ${}z\in G$.

Dann ist ${}f$ konstant.

 

???: Satz von Liouville

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion, die beschränkt sei.

Dann ist ${}f$ konstant.

 

???: Der Fundamentalsatz der Algebra

Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

 

???: Offenheit von holomorphen Funktionen

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion auf einer zusammenhängenden offenen Teilmenge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$.

Dann ist ${}f$ offen.

 

???: Injektive holomorphe Abbildung

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion auf einer offenen Menge ${}U$, und sei ${}f$ injektiv.

Dann ist die Ableitung nullstellenfrei.

 

???: Laurent-Entwicklung auf einem Kreisring

Es seien ${}0\leq r<R$ reelle Zahlen (wobei für ${}R$ auch ${}\infty$ erlaubt ist), ${}a\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt und sei ${}f$ eine holomorphe Funktion auf dem offenen Kreisring

${}U=U(a,r,R)=U{\left(a,R\right)}\setminus B\left(a,r\right)\,.$

Dann gibt es eine auf ${}U$ konvergente Laurent-Reihe ${}\sum _{n\in \mathbb {Z} }c_{n}(z-a)^{n}$, die dort ${}f$ darstellt.

Für die Koeffizienten der Laurent-Reihe gilt

${}c_{n}={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz\,,$

wobei ${}\gamma$ eine einfache Umrundung von ${}a$ im Kreisring ${}U$ ist.

 

???: Satz von Casorati-Weierstrass

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge,

${}a\in U$ ein Punkt und

$f\colon U\setminus \{a\}\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ besitzt in ${}a$ eine wesentliche Singularität.
2. Für jede offene Kreisscheibenumgebung ${}U{\left(a,r\right)}$ ist das Bild ${}f{\left(U{\left(a,r\right)}\setminus \{a\}\right)}$ dicht in ${}{\mathbb {C} }$.

 

???: Wegeliftungssatz

Es sei ${}p\colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung, ${}\gamma \colon I\rightarrow X$ ein stetiger Weg und ${}z\in E$ ein Punkt mit ${}p(z)=\gamma (0)$.

Dann gibt es genau einen stetigen Weg

${\tilde {\gamma }}\colon I\longrightarrow E$

mit der Eigenschaft, dass ${}p\circ {\tilde {\gamma }}=\gamma$ und ${}{\tilde {\gamma }}(0)=z$ ist.

 

???: Satz über die Homotopieinvarianz von Wegintegralen

Es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion und seien

$\alpha ,\beta \colon [a,b]\longrightarrow U$

stetige Wege mit ${}\alpha (a)=\beta (a)$ und ${}\alpha (b)=\beta (b)$, die zueinander homotop seien.

Dann ist

${}\int _{\alpha }f(z)dz=\int _{\beta }f(z)dz\,.$

 

???: Residuensatz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, ${}D\subseteq G$ eine endliche Teilmenge,

$\gamma \colon I\longrightarrow G\setminus D$

ein geschlossener stetiger Weg und sei

$f\colon G\setminus D\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine holomorphe Funktion.

Dann ist

${}{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }f(z)dz=\sum _{P}\operatorname {ind} _{\gamma }(P)\operatorname {Res} _{P}\left(f\right)\,,$

wobei über alle Punkte ${}P\in D$ summiert wird.

 

???: Konvergenz von holomorphen Funktionen

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}f_{k}\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion ${}f$ kompakt konvergiert.

Dann ist ${}f$ holomorph.

Die Folge der Ableitungsfunktionen ${}f_{k}^{(n)}$ konvergiert kompakt gegen ${}f^{(n)}$.

 

???: Holomorphe Funktionsmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Fakt

Holomorphe Funktionsmenge/Lokal beschränkt/Kompakt konvergent/Montel/Fakt

 

???: Gesamtvielfachheit bei holomorpher Funktionenfolge

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei

$f_{n}\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion ${}f$ kompakt konvergiert. Es sei ${}w\in {\mathbb {C} }$ und für jedes ${}f_{n}$ sei die Gesamtvielfachheit der ${}w$-Stellen höchstens ${}m$.

Dann ist ${}f$ konstant gleich ${}w$, oder die Gesamtvielfachheit von ${}w$ unter ${}f$ ist ebenfalls höchstens ${}m$.

 

???: Riemannscher Abbildungssatz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine einfach zusammenhängende offene Teilmenge mit ${}U\neq {\mathbb {C} }$.

Dann ist ${}U$ biholomorph zur offenen Kreisscheibe ${}U{\left(0,1\right)}$.

 

???: Repräsentant eines Gitters

Jedes Gitter in ${}{\mathbb {C} }$

ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form ${}\mathbb {Z} +\mathbb {Z} u$ mit ${}u\in {\mathbb {H} }$.

 

???: Körper der elliptischen Funktionen

Es sei ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gitter.

Dann wird der Körper der elliptischen Funktionen von ${}\wp$ und ${}\wp '$ erzeugt, d.h. jede elliptische Funktion kann man als eine rationale Funktion in ${}\wp$ und ${}\wp '$ schreiben.