Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/100/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	0	0	3	0	0	0	6	0	0	0	7	0	0	0	3	0	0	0	0	0	19

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Bei einer Fußballweltmeisterschaft werden in der Runde der letzten vier die Plätze ${}1,2,3,4$ nach folgendem Modus bestimmt: Es gibt zwei Halbfinals, deren Gewinner das Finale und deren Verlierer das Spiel um Platz ${}3$ bestreiten. Von einer solchen Runde seien die Mannschaften ${}A,B,C,D$ und die Ergebnisse der insgesamt vier Spiele bekannt, aber nicht die Rolle der Spiele.

Welche Information über die Platzierung kann man stets aus den Daten erschließen?
Unter welcher Bedingung kann man die Rolle aller Spiele erschließen,
unter welcher nicht?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 (1+2+3) Punkte)

Die Bernoullische Ungleichung

{}(1+x)^{n}\geq 1+nx\,

gilt für reelle Zahlen

{}x\geq -1\,

und natürliche Exponenten ${}n\in \mathbb {N}$ .

Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten ${}n=2$ für alle ${}x$ gilt.
Zeige durch ein Beispiel, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten ${}n=3$ nicht für alle ${}x$ gilt.
Zeige, dass die Bernoullische Ungleichung für den Exponenten ${}n=4$ für alle ${}x$ gilt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 (2+1+2+2) Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${}a,b,g$ folgende Aussagen gelten.

Für teilerfremde ${}a,b$ ist
${}\operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$
Es gibt ${}c,d\in \mathbb {Z}$ mit
$a=c\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b)\,\,{\text{ und }}\,\,b=d\cdot \operatorname {ggT} \,(a,b),$

wobei ${}c,d$ teilerfremd sind.
Es ist
${}\operatorname {kgV} \,(ga,gb)=g\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)\,.$
Es ist
${}\operatorname {ggT} \,(a,b)\cdot \operatorname {kgV} \,(a,b)=ab\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (3 Punkte)

„Eine neue Abstraktionsstufe ist immer auch eine neue Reflexionsstufe“. Äußern Sie sich zu dieser Behauptung!