Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/14/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 12 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 1 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 8 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 1 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Peano-Axiome} {.}
}{Die
\stichwort {Summe} {}
\mathl{n+k}{} zweier
\definitionsverweis {natürlicher Zahlen}{}{}
\mathkor {} {n} {und} {k} {.}
}{Die \stichwort {Multiplikation} {} von ganzen Zahlen.
}{Eine \stichwort {Untergruppe} {} $H$ in einer Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {streng wachsende} {} Abbildung \maabb {f} {K} {K } {} auf einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.
}{Eine \stichwort {Dezimalbruchfolge} {}
\mathbed {x_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
in einem angeordneten Körper $K$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die algebraische Struktur der natürlichen Zahlen.}{Das \stichwort {Lemma von Bezout} {} für teilerfremde natürliche Zahlen \mathkor {} {a} {und} {b} {.}}{Der Satz über die Wachstumsdominanz der \zusatzklammer {ganzzahligen} {} {} Exponentialfunktion.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Wir betrachten den Satz \anfuehrung{Kein Mensch ist illegal}{.} Negiere diesen Satz durch eine Existenzaussage.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit $V$ \zusatzklammer {vordere Tafel} {} {,} $M$ \zusatzklammer {mittlere Tafel} {} {} und $H$ \zusatzklammer {hintere Tafel} {} {} bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur \zusatzklammer {maximal} {} {} zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge \zusatzklammer {alle Möglichkeiten} {!} {} muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {injektive Abbildung}{}{.}
Zeige, dass es eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass man $\varphi$ als Abbildung
\maabbdisp {\varphi'} {L} {T
} {}
auffassen kann
\zusatzklammer {$\varphi$ und $\varphi'$ unterscheiden sich nur hinsichtlich des Wertebereichs} {} {}
und dass $\varphi'$ bijektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Erstelle das Pascalsche Dreieck bis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Petra hat folgende Informationen über die Erfolge von Deutschland bei Fußballweltmeisterschaften: \aufzaehlungvier{Die Fußballweltmeisterschaft findet alle vier Jahre statt. }{Deutschland war schon viermal Weltmeister. }{Deutschland war zum ersten Mal 1954 und zum letzten Mal 2014 Weltmeister. }{Deutschland war nie zweimal hintereinander Weltmeister. } Wie viele Möglichkeiten für die Jahre, in denen Deutschland die zweite bzw. die dritte Weltmeisterschaft gewann, verbleiben?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{12 (4+3+5)}
{
Wir betrachten die Menge der natürlichen Zahlen mit den beiden Verknüp\-fungen \maabbeledisp {} {\N \times \N} {\N } {(a,b)} { {\operatorname{GgT} \, \left( a , b \right) } } {} und \maabbeledisp {} {\N \times \N} {\N } {(a,b)} { {\operatorname{KgV} \, \left( a , b \right) } } {.} \aufzaehlungdrei{Zeige, dass der größte gemeinsame Teiler eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt \zusatzklammer {der größte gemeinsame Teiler von $0$ und $0$ sei als $0$ festgelegt} {} {.} }{Zeige, dass das kleinste gemeinsame Vielfache eine kommutative und assoziative Verknüpfung ist, die ein neutrales Element besitzt \zusatzklammer {das kleinste gemeinsame Vielfache von $a$ und $0$ sei als $0$ festgelegt} {} {.} }{Zeige, dass mit diesen Verknüpfungen \zusatzklammer {mit dem GgT als Addition} {} {} ein \definitionsverweis {kommutativer Halbring}{}{} vorliegt. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme den Rest von
\mathl{123456789}{} bei Division durch $9$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Erläutere die Rolle der Division mit Rest für die Dezimalentwicklung von natürlichen Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zerlegung in
\definitionsverweis {Primzahlen}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{} von $1023$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von $a$ und der andere ein Fassungsvermögen von $b$ Litern, wobei \mathkor {} {a} {und} {b} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme den Exponenten zu $2$ von
\mathl{203264}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass die Größergleichrelation $\geq$ auf $\Q$ wohldefiniert ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Unterteile die Strecke von
\mathl{{ \frac{ 2 }{ 7 } }}{} nach
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 4 } }}{} rechnerisch in drei gleichlange Strecken.
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Skizziere die Funktion \maabbeledisp {} {\Q} {\Q } {x} { - \left \lfloor -x \right \rfloor } {.}
}
{} {}