Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/23/Klausur

Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Punkte 3 3 0 1 2 5 1 2 3 1 1 3 4 6 1 2 2 2 3 7 1 4 0 3 60

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung .
  2. Die Assoziativität einer Verknüpfung
  3. Eine Primzahl.
  4. Ein Ring .
  5. Ein gemeinsamer Teiler von natürlichen Zahlen .
  6. Ein Dezimalbruch.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beziehung zwischen der Multiplikation und endlichen Mengen.
  2. Die Bernoulli-Ungleichung für einen angeordneten Körper .
  3. Der Satz über die Periodizitätseigenschaft bei der Division natürlicher Zahlen.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Wertetabelle, die für jede natürliche Zahl von bis ausgibt, mit wie vielen Eurozahlen die Zahl minimal darstellbar ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise die Integritätseigenschaft für die natürlichen Zahlen.


Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Wir behaupten, dass die Summe von vier aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen durch teilbar ist.

  1. Beweise diese Aussage mit vollständiger Induktion.
  2. Beweise diese Aussage ohne vollständige Induktion.


Aufgabe * (1 Punkt)

Winnetou und Old Shatterhand liegen nachts am Strand des Rio Pecos und halten ihre vom harten Tagesritt müden Füße in den Fluss. Dabei schauen sie in den Himmel und zählen Sternschnuppen. Winnetou sieht und Old Shatterhand sieht Sternschnuppen. Old Shatterhand sieht von den von Winnetou gesichteten Sternschnuppen nicht. Wie viele der Sternschnuppen, die von Old Shatterhand gesichtet wurden, sieht Winnetou nicht?


Aufgabe (2 Punkte)

Wie viele (wesentlich verschiedene) Möglichkeiten gibt es, die Seiten eines Würfels von bis derart zu nummerieren, dass die Summe gegenüberliegender Seiten stets ergibt?


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise das Distributivgesetz für die Differenz von natürlichen Zahlen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Es seien Elemente in einem kommutativen Halbring . Berechne


Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne (Klammern um die Minuszeichen wurden weggelassen)


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, für welche der Binomialkoeffizient

eine Primzahl ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine -elementige Menge. Zeige, dass die Anzahl der -elementigen Teilmengen von gleich dem Binomialkoeffizienten

ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass es zu ganzen Zahlen mit eindeutig bestimmte ganze Zahlen mit und mit

gibt.


Aufgabe (1 Punkt)

In einem mathematischen Text steht „“. Welche Bedeutungen könnten damit gemeint sein?


Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl , die ein Vielfaches von ist und in deren Darstellung im Dezimalsystem nur Neunen vorkommen.


Aufgabe (2 Punkte)

Es bezeichne die Nachfolgerabbildung und die Vorgängerabbildung auf den ganzen Zahlen. Begründe die Umlegungsregel

unter Bezug auf das Assoziativgesetz der Addition.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

  1. Finde eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung
  2. Zeige, dass

    eine Lösung für die Gleichung

    ist.


Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)

Der Flächeninhalt eines Quadrates mit Seitenlänge (das Einheitsquadrat) wird als festgelegt.

  1. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt. Welche naheliegenden Gesetzmäßigkeiten für den Flächeninhalt werden dabei verwendet?
  2. Begründe, dass ein Rechteck, dessen Seitenlängen sind, den Flächeninhalt besitzt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Finde eine natürliche Zahl derart, dass

ist.


Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

  1. Durch welche ganze Zahlen kann man innerhalb der Dezimalbrüche stets dividieren?
  2. Durch welche rationalen Zahlen kann man innerhalb der Dezimalbrüche stets dividieren?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (3 Punkte)

Diskutiere Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen der Abziehregel und der Kürzungsregel auf .