Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/3/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	4	1	7	2	5	3	3	2	7	3	5	1	4	1	3	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Eine Geldfälscherin stellt ${}3$- und ${}7$-Euro-Scheine her.

1. Zeige, dass es nur endlich viele (volle) Eurobeträge gibt, die sie nicht (exakt) begleichen kann.
2. Was ist der höchste Betrag, den sie nicht begleichen kann?
3. Beschreibe (ohne weitere Begründung) die Menge ${}M$ der Eurobeträge, die sie mit ihren Scheinen nicht begleichen kann.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Heinz Ngolo und Mustafa Müller gehen auf die gleiche Schule. Heinz wohnt vier Kilomter von der Schule entfernt, Mustafa dagegen drei Kilometer. Was kann man darüber sagen, wie weit die beiden voneinander entfernt wohnen?

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Multiplikation und endliche Mengen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Produkt von zwei ungeraden natürlichen Zahlen ungerade ist.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise für die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen

1. die Verträglichkeit mit der Addition,
2. die Verträglichkeit mit der Multiplikation.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wie viele Teilquadrate mit positiver Seitenlänge gibt es in einem Quadrat der Seitenlänge ${}5$? Die Seiten der Teilquadrate sollen wie im Bild auf dem „Gitter“ liegen, ein einzelner Punkt gelte nicht als Quadrat.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Die offizielle Berechtigung für die Klausurteilnahme werde durch mindestens ${}200$ Punkte im Übungsbetrieb erworben. Professor Knopfloch sagt, dass es aber auf einen Punkt mehr oder weniger nicht ankomme. Zeige durch eine geeignete Induktion, dass man mit jeder Punkteanzahl zur Klausur zugelassen wird.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Für eine Opernaufführung braucht man für die verschiedenen Rollen eine Altstimme, zwei Sopranstimmen, zwei Tenorstimmen und einen Bass. Im Ensemble stehen zwei Altstimmen, drei Sopranistinnen, vier Tenöre und drei Bässe zur Verfügung.

1. Wie viele Besetzungsmöglichkeiten für die Rollen gibt es?
2. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die Mitwirkenden auszuwählen, ohne Berücksichtigung der Rolle?

Aufgabe * (7 (3+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b,c,d$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq b$ und ${}c\geq d$.

1. Zeige

   ${}ac+bd\geq bc+ad\,.$

2. Zeige (in ${}\mathbb {N}$)

   ${}(a-b)\cdot (c-d)=ac+bd-(bc+ad)\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für jede natürliche Zahl ${}n\geq 1$ die Abschätzung

${}3^{n}\geq n^{3}\,$

gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n$ eine fixierte natürliche Zahl und

${}M={\{1,\ldots ,n\}}\,.$

Wir betrachten die beiden Verknüpfungen (Maximum und Minimum)

$M\times M\longrightarrow M,\,(a,b)\longmapsto \operatorname {max} (a,b),$

und

$M\times M\longrightarrow M,\,(a,b)\longmapsto \operatorname {min} (a,b).$

Zeige, dass ${}M$ mit diesen beiden Verknüpfungen (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Halbring ist.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Berechne

Minus eins hoch fünfundzwanzig Millionen dreihundertvierundachtzig Tausend zweihundertneunundsechzig.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Zu einer positiven natürlichen Zahl ${}n$ sei ${}a_{n}$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ${}1,2,3,\ldots ,n$.

1. Bestimme ${}a_{n}$ für ${}n=1,2,3,4,5$.
2. Was ist die kleinste Zahl ${}n$ mit

   ${}a_{n}=a_{n+1}\,?$

3. Was ist die kleinste Zahl ${}n$ mit

   ${}a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}\,?$

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Berechne die Gaußklammer

$\left\lfloor {\frac {487}{23}}\right\rfloor .$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne im Vierersystem

${\frac {321}{203}}+{\frac {131}{301}}$

(das Ergebnis muss nicht gekürzt sein).

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Lösungsmenge in ${}\mathbb {Q}$ für die Ungleichung

${}\vert {7x-5}\vert >\vert {6x-7}\vert \,.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Karl trinkt eine Flasche Bier (${}0{,}5$ Liter) mit einem Alkoholgehalt von ${}5$ Prozent. ${}10$ Prozent des getrunkenen Alkohols werden von seinem Blut aufgenommen, wobei er fünf Liter Blut hat (diese Gesamtmenge wird durch die Aufnahme nicht verändert). Wie viel Promille hat Karl, wenn er zuvor nüchtern war?