Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/6/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 8 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {endliche} {} Menge $M$ mit $n$ Elementen.
}{Eine \stichwort {Relation} {} auf einer Menge $M$.
}{Die \stichwort {Multiplikation} {} von ganzen Zahlen.
}{Ein \stichwort {gemeinsames Vielfaches} {} zu natürlichen Zahlen $a_1 , \ldots , a_k$.
}{Die \stichwort {Größergleichrelation} {} $\geq$ auf den rationalen Zahlen.
}{Die \stichwort {Darstellung} {} eines Dezimalbruches im Dezimalsystem. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine Menge $M$ heißt endlich mit $n$ Elementen, wenn es eine
\definitionsverweis {Bijektion}{}{}
\maabbdisp {} {{ \{ 1 , \ldots , n \} } } {M} {}
gibt.
}{Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge
\mathl{M \times M}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ M \times M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die ganzen Zahlen haben die Form
\mathl{\pm a}{} und
\mathl{\pm b}{} mit natürlichen Zahlen $a,b$. Die Multiplikation wird folgendermaßen definiert.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a \cdot b
}
{ \defeq} { a \cdot b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a \cdot (-b)
}
{ \defeq} { - (a \cdot b)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(-a) \cdot b
}
{ \defeq} { - (a \cdot b)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(-a) \cdot (-b)
}
{ \defeq} { a \cdot b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die natürliche Zahl $b$ heißt ein gemeinsames Vielfaches der
\mathl{a_1 , \ldots , a_k}{,} wenn $b$ ein
\definitionsverweis {Vielfaches}{}{}
von jedem $a_i$ ist, also von jedem $a_i$
\definitionsverweis {geteilt}{}{}
wird.
}{Auf den
\definitionsverweis {rationalen Zahlen}{}{}
$\Q$ wird die \stichwort {Größergleichrelation} {} $\geq$ durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ b } }
}
{ \geq }{ { \frac{ c }{ d } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bei positiven Nennern \mathlk{b,d \in \N_+}{}} {} {,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ad
}
{ \geq }{cb
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $\Z$ gilt, definiert.
}{Es sei ein
\definitionsverweis {Dezimalbruch}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ a }{ 10^k } }} { }
mit
\mathbed {a= \pm b \in \Z} {}
{b \in \N} {}
{} {} {} {,}
und $k \in \N$ gegeben, und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n b_i 10^{i}
}
{ =} {b_{n} \cdots b_1 b_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Dezimaldarstellung von $b$. Dann nennt man
\mathdisp {\pm b_{n} \cdots b_{k} , b_{k-1 } \cdots b_1 b_0} { }
die
Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Beziehung zwischen der Addition und endlichen Mengen.}{Die \stichwort {Potenzgesetze} {} für natürliche Zahlen.}{Der Satz über die algebraische Struktur der ganzen Zahlen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
disjunkte endliche Mengen mit
\mathkor {} {m} {bzw.} {n} {}
Elementen. Dann besitzt ihre Vereinigung
\mathl{M \cup N}{} gerade
\mathl{m+n}{} Elemente.}{Für das Potenzieren gelten die folgenden Eigenschaften, wobei
\mathl{a,b \in \N_+}{} und
\mathl{m,n \in \N}{} seien.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{m+n}
}
{ =} { a^m \cdot a^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a^{m})^n
}
{ =} { a^{m n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a\cdot b)^n
}
{ =} { a^n \cdot b^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}{Die ganzen Zahlen
\mathl{(\Z,0,1,+,\cdot)}{} bilden einen kommutativen Ring.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Negiere den Satz \anfuehrung{Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich}{} durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).
}
{
Es gibt ein Schwein, das mich anruft, oder es gibt eine Sau, die sich für mich interessiert.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.
}
{Axiomatischer Aufbau/Vor- und Nachteile/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei
\mathl{a \in \N_+}{.} Zeige, wie man $a^{10}$ mit vier Multiplikationen berechnen kann.
}
{
Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ \defeq} { a \cdot a
}
{ =} {a^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ \defeq} { b \cdot b
}
{ =} {b^2
}
{ =} {a^4
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{10}
}
{ =} {(c \cdot c) \cdot b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Berechnung mit vier Multiplikationen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist auch $f$ injektiv.
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x_1)
}
{ = }{ f(x_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ = }{ x_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(g \circ f) (x_1)
}
{ =} {g( f(x_1))
}
{ =} {g( f(x_2))
}
{ =} {(g \circ f) (x_2)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da nach Voraussetzung
\mathl{g \circ f}{} injektiv ist, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ = }{ x_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wie gewünscht.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+2+1)}
{
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass für
\mathl{a,b \in \N}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ab
}
{ \leq} {a^2+b^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt und somit stets
\mathl{a^2+b^2 -ab \in \N}{} ist.
}{Besitzt die Verknüpfung
\maabbeledisp {} {\N \times \N} { \N
} {(a,b)} {a \star b \defeq a^2+b^2 -ab
} {,}
ein neutrales Element?
}{Berechne
\mathdisp {5 \star (4 \star 3)} { . }
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Da die natürlichen Zahlen total geordnet sind, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ \geq} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ \geq} {a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im ersten Fall ist dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2
}
{ =} { a \cdot a
}
{ \geq} { a \cdot b
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach Satz 10.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (3)
und somit erst recht
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2 +b^2
}
{ \geq} {a \cdot b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Abschätzung ergibt sich im anderen Fall genauso.
}{Wir betrachten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e \star x
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{x \in \N}{,} die für ein neutrales Element $e$ gelten muss. Dies muss insbesondere auch für $x=0$ gelten, was auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { e \star 0
}
{ =} { e^2-0+0
}
{ =} { e^2
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt. Der einzige Kandidat ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Allerdings ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e \star 2
}
{ =} { 0 \star 2
}
{ =} { 2^2
}
{ =} { 4
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist $0$ nicht das neutrale Element. Es gibt also kein neutrales Element.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 \star (4 \star 3)
}
{ =} { 5 \star (16 +9 -12)
}
{ =} { 5 \star 13
}
{ =} { 25 +169-65
}
{ =} { 129
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Führe im Dreiersystem die Addition
\mathdisp {201 021 + 112 002} { }
schriftlich durch.
}
{
Es ist
\mathdisp {\, \, \, \, \, 201 021} { }
\mathdisp {+ 112 002} { }
\mathdisp {\underline{\, \, 1 \, \, \, 1\,\,\, 1 1 \, \, \, \, }} { }
\mathdisp {\, \, 1020100} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Beweise das \stichwort {allgemeine Distributivgesetz} {} für einen kommutativen Halbring.
}
{
Wir machen eine Doppelinduktion nach $r$ und nach $s$. D.h. wir beweisen die Aussage für jedes feste $r$ durch Induktion nach $s$
\zusatzklammer {innere Induktion} {} {}
und erhöhen dann in einem eigenen Induktionsdurchgang $r$
\zusatzklammer {äußere Induktion} {} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nichts zu zeigen, da dann die Summen links und rechts leer sind, also gleich $0$. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
sodass der linke Faktor einfach eine fixierte Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{a_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Wir wollen die Aussage in dieser Situation für beliebiges $s$ zeigen. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{ 0, 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage klar. Es sei die Aussage nun für ein
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ \geq} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schon bewiesen. Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ a \cdot { \left( b_1 + \cdots + b_s + b_{s+1} \right) }
}
{ =} { a \cdot { \left( { \left( b_1 + \cdots + b_s \right) } + b_{s+1} \right) }
}
{ =} { a \cdot { \left( b_1 + \cdots + b_s \right) } + a b_{s+1}
}
{ =} { { \left( \sum_{k = 1}^s ab_k \right) } + ab_{s+1}
}
{ =} { \sum_{k = 1}^{s+1} ab_k
}
}
{}
{}{}
nach dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung.
Es sei die Aussage nun für ein festes $r$ und jedes $s$ bewiesen. Dann ist wieder mit dem Distributivgesetz und der Induktionsvoraussetzung
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \left( \sum_{i = 1}^{r+1} a_i \right) } \cdot { \left( \sum_{k = 1}^s b_k \right) }
}
{ =} { { \left( { \left( \sum_{i = 1}^{r} a_i \right) } +a_{r+1} \right) } \cdot { \left( \sum_{k = 1}^s b_k \right) }
}
{ =} { { \left( \sum_{i = 1}^{r} a_i \right) } \cdot { \left( \sum_{k = 1}^s b_k \right) } +a_{r+1} \cdot { \left( \sum_{k = 1}^s b_k \right) }
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq r,\, 1 \leq k \leq s } a_ib_k + \sum_{k = 1}^s a_{r+1} b_k
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq r+1,\, 1 \leq k \leq s } a_ib_k
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (1+1+3)}
{
Wir interessieren uns für Eigenschaften von ganzen Zahlen, die nur davon abhängen, ob eine positive
\zusatzklammer {$p$} {} {}
oder eine negative Zahl
\zusatzklammer {$n$} {} {}
vorliegt.
\aufzaehlungdrei{Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Multiplikation auf
\mathl{\{ p, n\}}{,} die die Multiplikation auf $\Z$
\zusatzklammer {hinsichtlich der Eigenschaft, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist} {} {}
widerspiegelt.
}{Erstelle eine Verknüpfungstabelle für die Verknüpfung auf
\mathl{\{ p, n\}}{,} die der Verknüpfung \anfuehrung{Maximum nehmen}{} auf $\Z$
\zusatzklammer {hinsichtlich der Eigenschaft, ob das Ergebnis positiv oder negativ ist} {} {}
entspricht.
}{Gibt es eine Beziehung zwischen diesen Verknüpfungen und den Verknüpfungen $\cdot$ und $+$ auf
\mathl{\{g,u\}}{,} die das Verhalten von geraden und ungeraden Zahlen bei der Addition und der Multiplikation beschreiben?
}
}
{
\aufzaehlungdrei{%Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\cdot$ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $p$ }
\renewcommand{\leitzeilezwei}{ $n$ }
\renewcommand{\leitzeiledrei}{ }
\renewcommand{\leitzeilevier}{ }
\renewcommand{\leitzeilefuenf}{ }
\renewcommand{\leitzeilesechs}{ }
\renewcommand{\leitzeilesieben}{ }
\renewcommand{\leitzeileacht}{ }
\renewcommand{\leitzeileneun}{ }
\renewcommand{\leitzeilezehn}{ }
\renewcommand{\leitzeileelf}{ }
\renewcommand{\leitzeilezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltenull}{ }
\renewcommand{\leitspalteeins}{ $p$ }
\renewcommand{\leitspaltezwei}{ $n$ }
\renewcommand{\leitspaltedrei}{ }
\renewcommand{\leitspaltevier}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenf}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechs}{ }
\renewcommand{\leitspaltesieben}{ }
\renewcommand{\leitspalteacht}{ }
\renewcommand{\leitspalteneun}{ }
\renewcommand{\leitspaltezehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwoelf}{ }
\renewcommand{\leitspaltedreizehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltevierzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltefuenfzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesechzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltesiebzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteachtzehn}{ }
\renewcommand{\leitspalteneunzehn}{ }
\renewcommand{\leitspaltezwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinsxeins}{ p }
\renewcommand{\aeinsxzwei}{ n }
\renewcommand{\aeinsxdrei}{ }
\renewcommand{\aeinsxvier}{ }
\renewcommand{\aeinsxfuenf}{ }
\renewcommand{\aeinsxsechs}{ }
\renewcommand{\aeinsxsieben}{ }
\renewcommand{\aeinsxacht}{ }
\renewcommand{\aeinsxneun}{ }
\renewcommand{\aeinsxzehn}{ }
\renewcommand{\aeinsxelf}{ }
\renewcommand{\aeinsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azweixeins}{ n }
\renewcommand{\azweixzwei}{ p }
\renewcommand{\azweixdrei}{ }
\renewcommand{\azweixvier}{ }
\renewcommand{\azweixfuenf}{ }
\renewcommand{\azweixsechs}{ }
\renewcommand{\azweixsieben}{ }
\renewcommand{\azweixacht}{ }
\renewcommand{\azweixneun}{ }
\renewcommand{\azweixzehn}{ }
\renewcommand{\azweixelf}{ }
\renewcommand{\azweixzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreixeins}{ }
\renewcommand{\adreixzwei}{ }
\renewcommand{\adreixdrei}{ }
\renewcommand{\adreixvier}{ }
\renewcommand{\adreixfuenf}{ }
\renewcommand{\adreixsechs}{ }
\renewcommand{\adreixsieben}{ }
\renewcommand{\adreixacht}{ }
\renewcommand{\adreixneun}{ }
\renewcommand{\adreixzehn}{ }
\renewcommand{\adreixelf}{ }
\renewcommand{\adreixzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierxeins}{ }
\renewcommand{\avierxzwei}{ }
\renewcommand{\avierxdrei}{ }
\renewcommand{\avierxvier}{ }
\renewcommand{\avierxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierxsechs}{ }
\renewcommand{\avierxsieben}{ }
\renewcommand{\avierxacht}{ }
\renewcommand{\avierxneun}{ }
\renewcommand{\avierxzehn}{ }
\renewcommand{\avierxelf}{ }
\renewcommand{\avierxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechsxeins}{ }
\renewcommand{\asechsxzwei}{ }
\renewcommand{\asechsxdrei}{ }
\renewcommand{\asechsxvier}{ }
\renewcommand{\asechsxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechsxsechs}{ }
\renewcommand{\asechsxsieben}{ }
\renewcommand{\asechsxacht}{ }
\renewcommand{\asechsxneun}{ }
\renewcommand{\asechsxzehn}{ }
\renewcommand{\asechsxelf}{ }
\renewcommand{\asechsxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxeins}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebenxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebenxvier}{ }
\renewcommand{\asiebenxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebenxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebenxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebenxacht}{ }
\renewcommand{\asiebenxneun}{ }
\renewcommand{\asiebenxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebenxelf}{ }
\renewcommand{\asiebenxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtxeins}{ }
\renewcommand{\aachtxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtxvier}{ }
\renewcommand{\aachtxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtxacht}{ }
\renewcommand{\aachtxneun}{ }
\renewcommand{\aachtxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtxelf}{ }
\renewcommand{\aachtxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aneunxeins}{ }
\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
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\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
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\tabelleleitzweixzwei
}{Die Verknüpfungstabellen für
\mathkor {} {+} {und} {\cdot} {}
auf
\mathl{\{g,u\}}{} sind
%Daten für folgende Tabelle
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\tabelleleitzweixzwei
und %Daten für folgende Tabelle
\renewcommand{\leitzeilenull}{ $\cdot$ }
\renewcommand{\leitzeileeins}{ $g$ }
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\renewcommand{\aneunxzwei}{ }
\renewcommand{\aneunxdrei}{ }
\renewcommand{\aneunxvier}{ }
\renewcommand{\aneunxfuenf}{ }
\renewcommand{\aneunxsechs}{ }
\renewcommand{\aneunxsieben}{ }
\renewcommand{\aneunxacht}{ }
\renewcommand{\aneunxneun}{ }
\renewcommand{\aneunxzehn}{ }
\renewcommand{\aneunxelf}{ }
\renewcommand{\aneunxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azehnxeins}{ }
\renewcommand{\azehnxzwei}{ }
\renewcommand{\azehnxdrei}{ }
\renewcommand{\azehnxvier}{ }
\renewcommand{\azehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\azehnxsechs}{ }
\renewcommand{\azehnxsieben}{ }
\renewcommand{\azehnxacht}{ }
\renewcommand{\azehnxneun}{ }
\renewcommand{\azehnxzehn}{ }
\renewcommand{\azehnxelf}{ }
\renewcommand{\azehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aelfxeins}{ }
\renewcommand{\aelfxzwei}{ }
\renewcommand{\aelfxdrei}{ }
\renewcommand{\aelfxvier}{ }
\renewcommand{\aelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\aelfxsechs}{ }
\renewcommand{\aelfxsieben}{ }
\renewcommand{\aelfxacht}{ }
\renewcommand{\aelfxneun}{ }
\renewcommand{\aelfxzehn}{ }
\renewcommand{\aelfxelf}{ }
\renewcommand{\aelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxeins}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxdrei}{ }
\renewcommand{\azwoelfxvier}{ }
\renewcommand{\azwoelfxfuenf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsechs}{ }
\renewcommand{\azwoelfxsieben}{ }
\renewcommand{\azwoelfxacht}{ }
\renewcommand{\azwoelfxneun}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzehn}{ }
\renewcommand{\azwoelfxelf}{ }
\renewcommand{\azwoelfxzwoelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxeins}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxdrei}{ }
\renewcommand{\adreizehnxvier}{ }
\renewcommand{\adreizehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsechs}{ }
\renewcommand{\adreizehnxsieben}{ }
\renewcommand{\adreizehnxacht}{ }
\renewcommand{\adreizehnxneun}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzehn}{ }
\renewcommand{\adreizehnxelf}{ }
\renewcommand{\adreizehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxeins}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\avierzehnxvier}{ }
\renewcommand{\avierzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\avierzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\avierzehnxacht}{ }
\renewcommand{\avierzehnxneun}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\avierzehnxelf}{ }
\renewcommand{\avierzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxeins}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxvier}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxacht}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxneun}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxelf}{ }
\renewcommand{\afuenfzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asechzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asechzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asechzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asechzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asechzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asechzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asechzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxeins}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxvier}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxacht}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxneun}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxelf}{ }
\renewcommand{\asiebzehnxzwoelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxeins}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxdrei}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxvier}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxfuenf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsechs}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxsieben}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxacht}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxneun}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzehn}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxelf}{ }
\renewcommand{\aachtzehnxzwoelf}{ }
\tabelleleitzweixzwei
Man erkennt, dass wenn man $p$ mit $g$ und $n$ mit $u$ identifiziert, dass dann die obere Multiplikation der unteren Addition und das Maximumnehmen der unteren Multiplikation entspricht. }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{8 (1+1+1+3+2)}
{
Zur großen Pause fährt der Eiswagen \anfuehrung{Largo Maggiore}{} auf den Pausenhof. Eisverkäufer Lorenzo di Napoli bietet $10$ Eissorten an. Lucy Sonnenschein hat heute Lust auf ein Eis mit drei Kugeln, die in der Eistüte übereinander gestapelt werden. \aufzaehlungfuenf{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird? }{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Lucy drei verschiedene Sorten möchte und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird? }{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge mitberücksichtigt wird? }{Wie viele Möglichkeiten gibt es für diesen Eiskauf, wenn Sorten mehrfach auftreten dürfen und die Schleckreihenfolge nicht mitberücksichtigt wird? }{Wie kann man mit den Schritten mit denen man (4) beantwortet hat die Antworten zu (1) und zu (3) herleiten? }
}
{
\aufzaehlungfuenf{Es gibt
\mathl{10 \cdot 9 \cdot 8 = 720}{} Möglichkeiten, da es für die erste Kugel $10$, für die nächste $9$, da diese von einer anderen Sorte als die erste sein muss, und für die dritte $8$ Möglichkeiten.
}{Es geht um die Anzahl der dreielementigen Teilmengen aus der zehnelementigen Eissortenmenge, also gibt es
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { 10 } { 3 }
}
{ =} { { \frac{ 10 \cdot 9 \cdot 8 }{ 3 \cdot 2 \cdot 1 } }
}
{ =} { 120
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Möglichkeiten.
}{Für jede Kugel gibt es zehn Möglichkeiten, die Gesamtzahl ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{10^3
}
{ =} {1000
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Wenn sie drei verschiedene Kugeln kauft, so sind das, wie unter (2) berechnet,
\mathl{120}{} Möglichkeiten. Wenn sie zwei verschiedene Kugeln kauft, so gibt es für die Auswahl der Sorten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { 10 } { 2 }
}
{ =} { { \frac{ 10 \cdot 9 }{ 2 \cdot 1 } }
}
{ =} { 45
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Möglichkeiten. Sodann muss man dabei aber noch festlegen, welche Sorte einmal und welche zweimal genommen wird. Daher gibt es hier
\mathl{90}{} Möglichkeiten. Wenn sie von einer Sorte drei Kugeln kauft, so gibt es dafür $10$ Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{120 +90 +10
}
{ =} {220
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Möglichkeiten.
}{Für die
\mathl{120}{} Möglichkeiten aus dem ersten Typ von (4) gibt es jeweils sechs Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge sie aufgetürmt werden können, das macht die
\mathl{720}{} aus Teil (1). Für die
\mathl{90}{} Möglichkeiten aus dem zweiten Typ von (4) gibt es jeweils drei Möglichkeiten, in welcher Reihenfolge sie aufgetürmt werden können
\zusatzklammer {an welcher Stelle kommen die einzelnen Kugeln} {?} {,}
das macht
\mathl{270}{} Möglichkeiten. Für den dritten Typ aus (4) ist die Reihenfolge unerheblich, es bleibt also bei den $10$ Möglichkeiten. Insgesamt ergeben sich so gerechnet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{720 +270+10
}
{ =} {1000
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was dem Ergebnis aus Teil (3) entspricht.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe
\mathl{65}{} und deren Produkt $1000$ ist.
}
{
Die Primfaktorzerlegung von
\mathl{1000}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1000
}
{ =} {2^3 \cdot 5^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die beiden gesuchten Zahlen müssen also Teiler davon sein, also von der Form
\mathl{2^i 5^j}{} mit
\mathl{i,j \leq 3}{.} Da die Summe ungerade ist, besitzt die eine Zahl die Form
\mathdisp {8 \cdot 5^j} { . }
Dies führt auf die
\mathkor {} {40} {und} {25} {.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Woran erkennt man am Kleinen Einmaleins im $n$-System
\zusatzklammer {ohne die Nuller- und die Zehnerreihe} {} {,}
ob $n$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
ist.
}
{
Die Zahl $n$ ist genau dann eine Primzahl, wenn im Kleinen Einmaleins zur Basis $n$ keine $0$ als Endziffer der Tabelleneinträge auftaucht. Wenn nämlich $n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {a \cdot b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Ziffern $a,b$ kommen also im kleinen Einmaleins vor. Das zugehörige Produkt $ab$ hat in dem System die Ziffernentwicklung $10$ und somit taucht als Endziffer die $0$ auf.
Wenn umgekehrt die $0$ im kleinen Einmaleins als Endziffer auftaucht, so bedeutet dies, dass es Ziffern
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{i,j
}
{ < }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mathl{ij}{} ein Vielfaches von $n$ ist. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ij
}
{ =} {cn
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn $n$ prim wäre, so müsste
nach dem Lemma von Euklid
$n$ einen der Faktoren teilen, doch das geht nicht, da diese beiden kleiner als $n$ sind.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass eine Quadratzahl
\mathl{\neq 0}{} stets eine ungerade Anzahl an Teilern besitzt.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {b^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} { p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Primfaktorzerlegung von $b$
\zusatzklammer {mit verschiedenen Primfaktoren} {} {.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { { \left( p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k} \right) }^2
}
{ =} { p_1^{2r_1} \cdots p_k^{2r_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Teiler von $a$ haben die Form
\mathdisp {p_1^{i_1} \cdots p_k^{i_k}} { }
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq} { i_j
}
{ \leq} { 2r_j
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $j$. Somit gibt es
\mathdisp {(2r_1 +1) \cdots (2r_2+1) \cdots (2r_k+1)} { }
Teiler von $a$, und dies ist als ein Produkt von ungeraden Zahlen wieder ungerade.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (2+3+1)}
{
Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter. \aufzaehlungdrei{Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen? }{Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann? }{Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen? }
}
{
\aufzaehlungdrei{Wenn er den langen Stab $16$-mal hintereinander hinlegt, erreicht er $10$ Meter. Wenn er von dort aus den kleinen Stab rückwärts $21$-mal hinlegt, erhält er $9$ Meter in die andere Richtung und damit insgesamt einen Meter.
}{Die beiden Stäbe haben die Länge
\mathkor {} {{ \frac{ 3 }{ 7 } }} {bzw.} {{ \frac{ 5 }{ 8 } }} {.}
Da er die Stäbe nur hintereinander bzw. nebeneinander hinlegen kann, wobei jeweils zwei Endpunkte übereinstimmen müssen, ist die Gesamtheit der erzielbaren Längen gleich
\mathdisp {m { \frac{ 3 }{ 7 } } +n { \frac{ 5 }{ 8 } } \text{ mit } m, n \in \Z} { . }
Wir arbeiten mit dem Hauptnenner $56$ und schreiben dies als
\mathdisp {m { \frac{ 24 }{ 56 } } +n { \frac{ 35 }{ 56 } } = { \left( 24 m +35 n \right) } { \frac{ 1 }{ 56 } } \text{ mit } m, n \in \Z} { . }
Von daher ist klar, dass er nur ganzzahlige Vielfache von ${ \frac{ 1 }{ 56 } }$ legen kann. Da
\mathkor {} {24 =3\cdot 8} {und} {35=5 \cdot 7} {}
teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout ganze Zahlen
\mathl{m,n}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 24 m +35 n
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Er kann also in der Tat die Strecke
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 56 } }}{} hinlegen.
}{Da er den Prozess, mit dem er ${ \frac{ 1 }{ 56 } }$ hinlegt, beliebig oft und in beide Richtungen ausführen kann, kann er jedes ganzzahlige Vielfache von ${ \frac{ 1 }{ 56 } }$ abmessen.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen
\mathkor {} {p} {und} {q} {}
größer ist.
\mathdisp {p= { \frac{ 573 }{ -1234 } } \text{ und } q = { \frac{ -2007 }{ 4322 } }} { . }
}
{
Multiplikation liefert
\mathdisp {573 \cdot 4322 =2476506 \text{ und } 1234 \cdot 2007 = 2476638} { . }
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{573}{1234}
}
{ \leq} { \frac{2007}{4322}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p
}
{ =} { \frac{573}{-1234}
}
{ =} { \frac{-573}{1234}
}
{ \geq} { \frac{-2007}{4322}
}
{ =} { q
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.}
Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Es gibt nur die drei sich ausschließenden Möglichkeiten
\mathdisp {1>0 \text{ oder } 1 = 0 \text{ oder } 1 < 0} { . }
Aufgrund der Körperaxiome ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir müssen also nur noch die Möglichkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zum Widerspruch führen. Nehmen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ < }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an. Aufgrund der Verträglichkeit mit der Addition kann man beidseitig $-1$ addieren und erhält
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ < }{ -1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Verträglichkeit mit der Multiplikation mit positiven Elementen kann man diese Abschätzung quadrieren und erhält
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ <} {(-1)(-1)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
also ist zugleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ein Widerspruch.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{a \neq b}{} Basen zu einem Stellenwertsystem
\zusatzklammer {$a$-er System und $b$-er System} {} {.}
Es sei $z$ eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die im Stellenwertsystem zur Basis $a$ eine abbrechende Darstellung als Kommazahl besitzt. Gilt dies dann auch im Stellenwertsystem zur Basis $b$?
}
{
Nein. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {im Zehnersystem} {} {.}
Im Dreiersystem ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3
}
{ = }{10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 3 } }}{} im Dreiersystem gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ =} { 0,1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
hat also eine abbrechende Ziffernentwicklung. Dagegen ist
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 3 } }}{} kein Dezimalbruch und hat somit im Dezimalsystem keine endliche Entwicklung.
}