Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/T2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	4	6	3	5	4	4	2	2	7	1	2	4	2	4	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Multiplikation ${}a\cdot b$ von natürlichen Zahlen ${}a,b$.
2. Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
3. Die Differenz ${}a-b$ von natürlichen Zahlen ${}a,b$ mit ${}b\leq a$.
4. Zwei teilerfremde natürliche Zahlen ${}a$ und ${}b$.
5. Der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$.
6. Die Multiplikation von ganzen Zahlen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
2. Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
3. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe ${}65$ und deren Produkt ${}1000$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen mit ${}a\geq b$ und ${}a-b\geq c$. Zeige, dass dann ${}a\geq b+c$ ist und dass

${}(a-b)-c=a-(b+c)\,$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für jede natürliche Zahl ${}n\geq 1$ die Abschätzung

${}3^{n}\geq n^{3}\,$

gilt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

${}G=A\uplus B\,$

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(G)$ und der Produktmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit ${}V$ (vordere Tafel), ${}M$ (mittlere Tafel) und ${}H$ (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.

Aufgabe * (5 (1+4) Punkte)

Ein Cocktailmixer verfügt über zwei Verarbeitungstechniken, nämlich schütteln und rühren, wobei in jedem Arbeitsgang stets zwei Grundzutaten bzw. Zwischenprodukte miteinander verarbeitet werden. Bei jedem Cocktail wird jede Grundzutat bei genau einem Arbeitsvorgang verarbeitet (wobei die dabei entstehenden Zwischenprodukte weiterverarbeitet werden können). Als Grundzutaten stehen Orangensaft, Zitronensaft, Pfefferminzblätter und Rum zur Verfügung.

1. Beschreibe die Zubereitung eines Cocktails, so dass jede Verarbeitungstechnik mindestens einmal vorkommt.
2. Auf wie viele Arten kann er aus den Zutaten einen Cocktail mixen?

Aufgabe (4 Punkte)

Die Räuberbande „Robin Hood“ besteht aus fünf Personen. Sie legt für ihr Diebesgut eine Schatztruhe an, die sie mit verschiedenen Schlössern sichern möchte, wobei die (mehrfachen) Schlüssel an die Mitglieder verteilt werden sollen. Dabei soll erreicht werden, dass je zwei Bandenmitglieder allein nicht an den Schatz kommen, dass aber je drei Bandenmitglieder die Truhe aufschließen können. Wie viele Schlösser braucht man dafür und wie müssen die Schlüssel verteilt werden?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Rest von ${}123456789$ bei Division durch ${}9$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Führe im Dreiersystem die Addition

$201021+112002$

schriftlich durch.

Aufgabe * (7 Punkte)

Zeige, dass das schriftliche Addieren korrekt ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Ersetze im Ausdruck

${\text{XYZUWXYZVT}}$

simultan die Buchstaben ${}X$ durch ${}M$, ${}Y$ durch ${}A$, ${}Z$ durch ${}T$, ${}U$ durch ${}H$, ${}V$ durch ${}E$, ${}W$ durch ${}I$, ${}T$ durch ${}K$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Ersetze im Term ${}3x^{2}+5x+6$ die Variable ${}x$ durch den Term ${}4y^{2}+2y+3$ und vereinfache den entstehenden Ausdruck.

Aufgabe * (4 Punkte)

Welche Arten von Gleichungen kennen Sie? Geben Sie typische Beispiele.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass für zwei von ${}0$ verschiedene ganze Zahlen ${}x,y$ auch das Produkt ${}x\cdot y$ von ${}0$ verschieden ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass für jede ungerade Zahl ${}n$ die Zahl ${}25n^{2}-17$ ein Vielfaches von ${}8$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}71894$ und ${}45327$.