Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	1	3	3	3	3	4	3	10	2	3	3	4	4	2	7	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Erzeugendensystem des ${}K^{n}$.
2. Elementare Zeilenumformungen an einer ${}m\times n$- Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
3. Die Transitivität einer Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$.
4. Das Cauchy-Folgen-Modell für die reellen Zahlen.
5. Die reelle Exponentialfunktion zur Basis ${}b>0$.
6. Die Binomialverteilung zu ${}p\in [0,1]$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für Erzeugendensysteme im ${}K^{n}$.
2. Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel).

Aufgabe * (3 Punkte)

Gibt es eine Lösung ${}(a,b,c)\in \mathbb {Q}$ für das lineare Gleichungssystem

${}a{\begin{pmatrix}1\\2\\11\\2\end{pmatrix}}+b{\begin{pmatrix}2\\2\\12\\3\end{pmatrix}}+c{\begin{pmatrix}3\\1\\20\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}15\\11\\106\\31\end{pmatrix}}\,?$

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

${}3x\geq -8\,$

und

${}7x\leq 10\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge mit ${}n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf ${}M$, die

1. reflexiv
2. symmetrisch
3. reflexiv und symmetrisch

sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung ${}\varphi$, welche nicht?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen und sei

$f\colon M\longrightarrow N$

eine injektive Abbildung. Wie viele Abbildungen

$g\colon N\longrightarrow M$

mit

${}g\circ f=\operatorname {Id} _{M}\,$

gibt es?

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne von Hand die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von ${}5$ zum Startwert ${}x_{0}=3$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Produktfolge ${}{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}\cdot y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}\cdot {\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$7,103{\overline {4002}}$

gegeben ist.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für reelle Zahlen.

Aufgabe (2 Punkte)

Inwiefern sind reelle Zahlen unnötig?

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Anzahl der Tripel ${}(i,j,k)\in \mathbb {N} ^{3}$ mit

${}i+j+k=5\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Z} /(7)[X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=2X^{3}+4X^{2}+5$ und ${}T=3X^{2}+X+1$ durch.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-3x+1.$

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[0,1]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$, in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Additionstheoreme für den Sinus und den Kosinus unter Verwendung von Drehmatrizen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises ${}E$ mit dem Kreis ${}K$, der den Mittelpunkt ${}(1,0)$ und den Radius ${}2$ besitzt.

Aufgabe * (7 Punkte)

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt ${}(0,0)$. Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest ${}3$ besitzt?