Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/1/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 10 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 7 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 64 }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleachtzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Erzeugendensystem} {} des $K^n$.
}{\stichwort {Elementare Zeilenumformungen} {} an einer $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über einem Körper $K$.
}{Die \stichwort {Transitivität} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.
}{Das \stichwort {Cauchy-Folgen-Modell} {} für die reellen Zahlen.
}{Die
\stichwort {reelle Exponentialfunktion} {}
zur Basis
\mathl{b >0}{.}
}{Die
\stichwort {Binomialverteilung} {}
zu $p \in [0,1]$ und
\mathl{n \in \N_+}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Erzeugendensysteme im
\mathl{K^n}{.}}{Das
\stichwort {Quetschkriterium} {}
für Folgen in einem angeordneten Körper $K$.}{Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel).}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Gibt es eine Lösung
\mathl{(a,b,c) \in \Q}{} für das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 11\\2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2 \\2\\ 12\\3 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 20\\7 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 15 \\11\\ 106\\31 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x
}
{ \geq} {-8
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7 x
}
{ \leq} { 10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $M$ eine Menge mit $n$ Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf $M$, die \aufzaehlungdrei{reflexiv }{symmetrisch }{reflexiv und symmetrisch } sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {K} { \operatorname{Mat}_{ 2 } (K) } {a} { \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} } {.} Welche Eigenschaften eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} erfüllt die Abbildung $\varphi$, welche nicht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {endliche Mengen}{}{}
mit $m$ bzw. $n$ Elementen und sei
\maabbdisp {f} {M} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {injektive Abbildung}{}{.}
Wie viele Abbildungen
\maabbdisp {g} {N} {M
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g \circ f
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ M }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=3$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
in $K$. Zeige, dass die Produktfolge
\mathl{{ \left( x_n \cdot y_n \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( x_n \cdot y_n \right) }
}
{ =} { { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \right) } \cdot { \left( \lim_{n \rightarrow \infty} y_n \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {7,103 \overline{4002}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{10}
{
Beweise den Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Inwiefern sind reelle Zahlen unnötig?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die Anzahl der Tripel
\mathl{(i,j,k) \in \N^3}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i+j+k
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Führe in $\Z/(7)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=2X^3+4X^2+5} {und} {T=3X^2+X+1} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R} {\R
} {x} {x^3-3x +1
} {.}
Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[0,1]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise die Additionstheoreme für den \definitionsverweis {Sinus}{}{} und den \definitionsverweis {Kosinus}{}{} unter Verwendung von \definitionsverweis {Drehmatrizen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises $E$ mit dem Kreis $K$, der den Mittelpunkt $(1,0)$ und den Radius $2$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt
\mathl{(0,0)}{.} Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest $3$ besitzt?
}
{} {}