Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/11/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 5 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 9 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 6 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 3 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {Linearkombination} {}
zu Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} im $K^m$.
}{Die \stichwort {kanonische Projektion} {} zu einer \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} $\sim$ auf einer Menge $M$.
}{Ein \stichwort {vollständig} {} angeordneter Körper $K$.
}{Der \stichwort {Grad} {} eines Polynoms
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
über einem Körper $K$.
}{Die
\stichwort {Kosinusreihe} {}
zu
\mathl{x \in \R}{.}
}{Die
\stichwort {Bernoulli-Verteilung} {}
zu
\mathl{p \in [0,1]}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine Summe
\mathdisp {\sum_{i = 1}^n s_i v_i} { }
mit Skalaren
\mathl{s_1 , \ldots , s_n \in K}{} nennt man eine Linearkombination der gegebenen Vektoren.
}{Man nennt die Abbildung
\maabbeledisp {q} {M } {M/ \sim
} {x} { [x]
} {,}
die \stichwort {kanonische Projektion} {.}
}{Ein angeordneter Körper $K$ heißt vollständig, wenn jede \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
in $K$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}{Der Grad eines von
\mathl{0}{} verschiedenen Polynoms
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a_n \neq 0}{} ist $n$.
}{Die Kosinusreihe ist
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } x^{2n} }{(2n)!}} { . }
}{Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte $f_p$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\{ 0,1 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_p(1)
}
{ =} {p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_p(0)
}
{ =} {1-p
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt
Bernoulli-Verteilung.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über bijektive lineare Abbildungen und Matrizen.}{Der Satz über die algebraische Struktur des Äquivalenzklassenmodells für $\Z$.}{Die \stichwort {Bayessche Formel} {.}}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und sei
\maabb {\varphi} {K^n} {K^n
} {}
eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix $M$. Dann ist $\varphi$ genau dann bijektiv, wenn $M$ invertierbar ist.}{Das Äquivalenzklassenmodell von $\Z$ ist mit der Addition
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [ (a, b) ] + [ (c, d) ]
}
{ \defeq} {[ (a+c, b+d) ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der Multiplikation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,b)] \cdot [(c,d)]
}
{ \defeq} {[(ac+bd, ad+bc)]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dem Nullelement
\mathl{[(0,0)]}{,} dem Einselement
\mathl{[(1,0)]}{} und der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ [(a,b)]
}
{ \geq} {[(c,d)]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+d
}
{ \geq} { b+c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
definierten Ordnung ein angeordneter Ring.}{Es sei $(M, P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { B_1 \uplus B_2 \uplus \ldots \uplus B_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis $A$ mit positiver Wahrscheinlichkeit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(B_k {{|}} A)
}
{ =} { { \frac{ P(B_k) \cdot P(A {{|}} B_k) }{ \sum_{ i = 1}^n P(B_i) \cdot P( A {{|}} B_i ) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
+4 w & = & 4 \\ 2 x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 0 \\ 4 x &
+6 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 2 \\ x &
+3 y &
+5 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }
}
{
Wir eliminieren zuerst die Variable $z$, indem wir die zweite und die dritte Gleichung übernehmen und
\mathl{IV-5I}{} hinzunehmen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 0 \\
4 x &
+6 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 2 \\
-14 x &
+3 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
-20 w & = & -17 \, .
\end{matrix}} { }
Nun eliminieren wir die Variable $w$, indem wir
\zusatzklammer {bezogen auf das vorhergehende System} {} {}
\mathl{II-I}{} und
\mathl{III+20I}{} ausrechnen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &
+4 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\
26 x &
+43 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & -17 \, .
\end{matrix}} { }
Mit
\mathl{13I-II}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 9 y
}
{ =} {43
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 43 }{ 9 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { 1-2y
}
{ =} { - { \frac{ 77 }{ 9 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} {-2x-2y
}
{ =} { -2 { \left( - { \frac{ 77 }{ 9 } } \right) } -2 { \frac{ 43 }{ 9 } }
}
{ =} { { \frac{ 68 }{ 9 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { 4-3x-4w
}
{ =} { 4 + 3 { \frac{ 77 }{ 9 } } - { \frac{ 272 }{ 9 } }
}
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 9 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Welche Folgerung kann man daraus schließen?
}
{
Das bedeutet, dass das lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {K^m} {K^n
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Es sei
\mathl{v \in K^m}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi( -v)
}
{ = }{- \varphi(v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v) + \varphi(-v)
}
{ =} { \varphi(v-v)
}
{ =} { \varphi(0)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher sind
\mathkor {} {\varphi(v)} {und} {\varphi(-v)} {}
zueinander invers, und wegen der Eindeutigkeit des Negativen folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(-v)
}
{ =} {- \varphi(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Zeige, dass die auf $\Z \times \N_+$ durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegte
\definitionsverweis {Relation}{}{}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{
Die Reflexivität und die Symmetrie ergeben sich unmittelbar aus der Definition. Zum Nachweis der Transitivität seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,b)
}
{ \sim }{ (c,d)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(c,d)
}
{ \sim }{ (e,f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ad
}
{ = }{bc
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ cf
}
{ = }{ed
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ adf
}
{ =} {bcf
}
{ =} {bde
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt die Kürzungsregel in $\Z$ die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{af
}
{ =} {eb
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b)
}
{ \sim }{ (e,f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $H$ ebenfalls kommutativ ist.
}
{
Es seien
\mathl{h_1,h_2 \in H}{.} Dann gibt es
\mathl{g_1,g_2 \in G}{} mit
\mathl{\varphi(g_1)=h_1}{} und
\mathl{\varphi(g_2)=h_2}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h_1h_2
}
{ =} { \varphi(g_1) \varphi(g_2)
}
{ =} { \varphi(g_1 g_2)
}
{ =} { \varphi(g_2 g_1)
}
{ =} { \varphi(g_2) \varphi(g_1)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {h_2 h_1
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Zu
\mathl{n \in \N_+}{} sei $a_n$ die Summe der ungeraden Zahlen bis $n$ und $b_n$ die Summe der geraden Zahlen bis $n$. Entscheide, ob die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ a_n }{ b_n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
}
{
Wir verwenden, dass die Summe der ersten ungeraden Zahlen gleich dem Quadrat der Anzahl der beteiligten Zahlen ist.
Für $n$ gerade ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 1+3 + \cdots + n-1 }{ 2+4 + \cdots + n } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ n }{ 2 } } \right) }^2 }{ 2+4 + \cdots + n } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ n }{ 2 } } \right) }^2 }{ { \left( { \frac{ n }{ 2 } } \right) }^2 + { \frac{ n }{ 2 } } } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ n }{ 2 } } \right) } }{ { \left( { \frac{ n }{ 2 } } \right) } + 1 } }
}
}
{}
{}{,}
wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers um eins erhöht vorkommt, und für $n$ ungerade ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 1+3 + \cdots + n }{ 2+4 + \cdots + n-1 } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }^2 }{ 2+4 + \cdots + n -1 } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }^2 }{ { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }^2 + { \frac{ n+1 }{ 2 } } - { \left( n+1 \right) } } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }^2 }{ { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ n+1 }{ 2 } } } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {{ \frac{ { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) } }{ { \left( { \frac{ n+1 }{ 2 } } \right) } - 1 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
wobei wir im vorletzten Schritt verwendet haben, dass im Nenner jeder Summand des Zählers bis auf den letzten um eins erhöht vorkommt. Beide Teilfolgen
\zusatzklammer {gerade bzw. ungerade Glieder} {} {} konvergieren gegen $1$ und somit konvergiert die Gesamtfolge gegen $1$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise die Aussage, dass eine Dezimalbruchfolge in einem archimedisch angeordneten Körper $K$ eine Cauchy-Folge ist.
}
{
Wegen der definierenden Eigenschaft für eine Dezimalbruchfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a_n }{ 10^n } }
}
{ \leq} { { \frac{ a_{n+1} }{ 10^{n+1} } }
}
{ <} { { \frac{ a_n+1 }{ 10^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}
}
{ <} { x_n + { \frac{ 1 }{ 10^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}-x_n
}
{ <} { { \frac{ 1 }{ 10^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ > }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ x_m-x_n
}
{ =} { { \left( x_{m+1}-x_m \right) } + { \left( x_m -x_{m-1} \right) } + \cdots + { \left( x_{n+2}-x_{n+1} \right) } + { \left( x_{n+1}-x_n \right) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10^m } } + { \frac{ 1 }{ 10^{m-1} } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ 10^{n+1} } } + { \frac{ 1 }{ 10^n } }
}
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ 10^{m-n} } } + { \frac{ 1 }{ 10^{m-n-1} } } + \cdots + { \frac{ 1 }{ 10 } } + 1 \right) } { \frac{ 1 }{ 10^n } }
}
{ \leq} { 2 \cdot { \frac{ 1 }{ 10^n } }
}
}
{}
{}{,}
wobei wir im letzten Schritt die endliche geometrische Reihe benutzt haben. Dieser Ausdruck wird in einem archimedisch angeordneten Körper beliebig klein.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{9 (2+4+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {irrationale Zahl}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ a+bu \mid a,b \in \Z \right\} }
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
a) Zeige, dass $G$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von
\mathl{(\R,0,+)}{} ist.
b) Zeige, dass es kein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { \Z v
}
{ =} { { \left\{ cv \mid c \in \Z \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
c) Zeige, dass es in $G$ kein positives minimales Element gibt.
}
{
a) Das Nullelement ergibt sich für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a+bu)+ (c+du)
}
{ =} { (a+c) + (b+d)u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist $G$ unter der Addition abgeschlossen und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - (a+bu)
}
{ =} { -a -bu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gehören auch die Negativen dazu.
b) Nehmen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { \Z v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
an. Dann ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} {a_0 +b_0 u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit gewissen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0,b_0
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u
}
{ =} { rv
}
{ =} { r( a_0 +b_0 u )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\mathbed {r \in \Z} {}
{r \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Daraus folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 1-r b_0 \right) } u
}
{ =} { r a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Aus der Irrationalität von $u$ ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1-rb_0
}
{ =} {0
}
{ =} {a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r
}
{ =} {b_0
}
{ =} { \pm 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} {\pm u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { \Z u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { c u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
was wegen der Irrationalität von $u$ nicht möglich ist.
c) Nehmen wir an, es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das minimale positive Element aus $G$. Wir behaupten, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { \Z w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wäre, was nach Teil (2) nicht sein kann. Es sei also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ =} {a+bv
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
positiv
\zusatzklammer {bei $g$ negativ geht man zum Negativen davon über} {} {.}
Dann ist nach Voraussetzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g
}
{ \geq} { w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten
\mathl{g-w,g-2w,g-3w , \ldots}{} bis wir zu einem
\mathl{g-kw}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \leq} { g-kw
}
{ <} { w
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angelangen. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g-kw
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {g-kw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sein, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ \Z w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0,342 \overline{019}} { }
gegeben ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0{,}342 \overline{019}
}
{ =} { 0{,}342 + 0{,}000 \overline{019}
}
{ =} { { \frac{ 342 }{ 1000 } } + { \frac{ 1 }{ 1000 } } \cdot 0{,} \overline{019}
}
{ =} { { \frac{ 342 }{ 1000 } } + { \frac{ 1 }{ 1000 } } \cdot 19 \cdot 0{,} \overline{001}
}
{ =} { { \frac{ 342 }{ 1000 } } + { \frac{ 1 }{ 1000 } } \cdot 19 \cdot { \frac{ 1 }{ 999 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 342 }{ 1000 } } + { \frac{ 19 }{ 999000 } }
}
{ =} { { \frac{ 341658 + 19 }{ 999000 } }
}
{ =} { { \frac{ 341677 }{ 999000 } }
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Nullstelle des Polynoms
\mathdisp {X^3+3X+2} { }
ist.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ { \left( \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) }^3 +3 { \left( \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) } + 2
}
{ =} { -1 + \sqrt{2} +3 \sqrt[3]{ -1 + \sqrt{2} }^2 \cdot \sqrt[3]{ -1 - \sqrt{2} } + 3 \sqrt[3]{ -1 + \sqrt{2} } \cdot \sqrt[3]{ -1 - \sqrt{2} }^2 -1 - \sqrt{2} +3 \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } +3 \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } +2
}
{ =} { 3 { \left( \sqrt[3]{ { \left( -1+ \sqrt{2} \right) }^2 { \left( -1-\sqrt{2} \right) } } + \sqrt[3]{ { \left( -1+ \sqrt{2} \right) } { \left( -1-\sqrt{2} \right) }^2 } + \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) }
}
{ =} { 3 { \left( \sqrt[3]{ { \left( 3-2 \sqrt{2} \right) } { \left( -1-\sqrt{2} \right) } } + \sqrt[3]{ { \left( -1+ \sqrt{2} \right) } { \left( 3+ 2\sqrt{2} \right) } } + \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) }
}
{ =} {3 { \left( \sqrt[3]{ 1- \sqrt{2} } + \sqrt[3]{ 1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} } \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {3 { \left( \sqrt[3]{ 1- \sqrt{2} } + \sqrt[3]{ 1 + \sqrt{2} } - \sqrt[3]{1 - \sqrt{2} } - \sqrt[3]{1 + \sqrt{2} } \right) }
}
{ =} {0
}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =4,\, f(1) = 0,\, f(2) = -7} { . }
}
{
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-b+c
}
{ =} {4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b+c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+2b+4c
}
{ =} {-7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\mathl{I-II}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{I-III}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -3b-3c
}
{ =} {11
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c
}
{ =} { - { \frac{ 11 }{ 3 } } - b
}
{ =} { - { \frac{ 11 }{ 3 } } +2
}
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 3 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {-b-c
}
{ =} { 2+ { \frac{ 5 }{ 3 } }
}
{ =} { { \frac{ 11 }{ 3 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das gesuchte Polynom ist also
\mathdisp {{ \frac{ 11 }{ 3 } } - 2X - { \frac{ 5 }{ 3 } } X^2} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Beweise den Zwischenwertsatz.
}
{
Wir beschränken uns auf die Situation
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \leq }{u
}
{ \leq }{f(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und zeigen die Existenz von einem solchen $c$ mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man
\mathkor {} {a_0 \defeq a} {und} {b_0 \defeq b} {,}
betrachtet die Intervallmitte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_0
}
{ \defeq }{ { \frac{ a_0 + b_0 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und berechnet
\mathdisp {f(c_0)} { . }
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c_0 \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man
\mathdisp {a_1 \defeq c_0 \text{ und } b_1 \defeq b_0} { }
und bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c_0 \right) }
}
{ > }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt man
\mathdisp {a_1 \defeq a_0 \text{ und } b_1 \defeq c_0} { . }
In jedem Fall hat das neue Intervall
\mathl{[a_1,b_1]}{} die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( a_1 \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ \leq }{ f { \left( b_1 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer
\definitionsverweis {Intervallschachtelung}{}{.}
Sei $c$ die durch diese Intervallschachtelung gemäß
Fakt *****
definierte
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.}
Für die unteren Intervallgrenzen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( a_n \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das überträgt sich wegen der Stetigkeit
nach dem Folgenkriterium
auf den Grenzwert $c$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( c \right) }
}
{ \leq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für die oberen Intervallgrenzen gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f { \left( b_n \right) }
}
{ \geq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und das überträgt sich ebenfalls auf $c$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ \geq }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(c)
}
{ = }{ u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Ordne die Zahlen
\mathdisp {\exp \left( 0,6 \right),\, \exp \left( 0,7 \right) \text{ und } 2} { }
gemäß ihrer Größe.
}
{
Es ist einerseits
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp \left( 0{,}7 \right)
}
{ \geq} {1 + 0{,}7 + { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot 0{,}7^2 + { \frac{ 1 }{ 6 } } \cdot 0{,}7^3
}
{ =} { 1{,}7 + 0{,}245 +{ \frac{ 1 }{ 6 } } \cdot 0{,}343
}
{ >} { 1{,}945 + 0{,}057
}
{ =} { 2{,}002
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ >} { 2
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Andererseits ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \exp \left( 0{,}6 \right)
}
{ \leq} {1 + 0{,}6 + { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot 0{,}6^2 + { \frac{ 1 }{ 6 } } { \left( 0{,}6^3 +0{,}6^4 + \cdots \right) }
}
{ =} { 1{,}6 + 0{,}18 +{ \frac{ 1 }{ 6 } } \cdot 0{,}6^3 { \left( 1+ 0{,}6 +0{,}6^2 + \cdots \right) }
}
{ =} { 1{,}78 +{ \frac{ 1 }{ 6 } }\cdot 0{,}6^3 \cdot { \frac{ 5 }{ 2 } }
}
{ =} { 1{,}78 + { \frac{ 3^3 \cdot 5 }{ 6 \cdot 5^3 \cdot 2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 1{,}78 + { \frac{ 9 }{ 100 } }
}
{ =} {1{,}87
}
{ <} { 2
}
{ } {}
}
{}{,}
wobei wir im dritten Schritt die geometrische Reihe verwendet haben. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( 0{,}6 \right)
}
{ <} { 2
}
{ <} { \exp \left( 0{,}7 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }
}
{
Für reelles $x$ ist immer
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -1
}
{ \leq} { \sin x
}
{ \leq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ \leq} { { \frac{ \sin n }{ n } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da die Folge ${ \left( \frac{1}{n} \right) }_{ n \in \N_+ }$ gegen $0$ konvergiert und dies auch für die negative Folge ${ \left( -\frac{1}{n} \right) }_{ n \in \N_+ }$ gilt, muss aufgrund des Quetschkriteriums auch die Folge ${ \left( \frac{ \sin n }{n} \right) }_{ n \in \N_+ }$ gegen $0$ konvergieren.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {3x-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
}
{
Der Einheitskreis ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+y^2
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Darin setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {3x-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+ (3x-2)^2
}
{ =} {10x^2 -12x +4
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 - { \frac{ 6 }{ 5 } } x + { \frac{ 3 }{ 10 } }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 }{ 5 } } \pm \sqrt{ { \left( { \frac{ 6 }{ 5 } } \right) }^2 -4 \cdot { \frac{ 3 }{ 10 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 }{ 5 } } \pm \sqrt{ { \frac{ 36 }{ 25 } } - { \frac{ 6 }{ 5 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \frac{ 6 }{ 5 } } \pm { \frac{ 1 }{ 5 } } \sqrt{ 6 } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 6 \pm \sqrt{ 6 } }{ 10 } }
}
}
{}
{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ y_{1,2}
}
{ =} { 3 \cdot { \frac{ 6 \pm \sqrt{ 6 } }{ 10 } } -2
}
{ =} { { \frac{ -2 \pm 3 \sqrt{ 6 } }{ 10 } }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Die Schnittpunkte sind also
\mathkor {} {\left( { \frac{ 6 +\sqrt{ 6 } }{ 10 } } , \, { \frac{ -2 + 3 \sqrt{ 6 } }{ 10 } } \right)} {und} {\left( { \frac{ 6 - \sqrt{ 6 } }{ 10 } } , \, { \frac{ -2 - 3 \sqrt{ 6 } }{ 10 } } \right)} {.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Beim Zahlenlotto auf dem Mars werden aus $49$ Kugeln $43$ Kugeln gezogen. Der große Traum eines jeden Marsmenschen ist es, einmal im Leben $43$ Richtige zu haben. In diesem Fall gewinnt man eine Reise zur Venus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, im Marslotto zu gewinnen?
}
{
Die Wahrscheinlichkeit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ \binom { 49 } { 43 } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \binom { 49 } { 6 } } }
}
{ =} { { \frac{ 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 }{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2 \cdot 1 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 13 983 816 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Beweise die Formel für die totale Wahrscheinlichkeit.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P(E)
}
{ =} { P( E \cap ( B_1 \uplus B_2 \uplus \ldots \uplus B_n ) )
}
{ =} {P ( (E \cap B_1) \uplus (E \cap B_2) \uplus \ldots \uplus (E \cap B_n ))
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n P (E \cap B_i)
}
{ =} { \sum_{ i = 1}^n P(B_i) \cdot P( E {{|}} B_i )
}
}
{}
{}{.}
}