Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/12/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 6 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Ebene} {} im $K^n$.
}{Die \stichwort {inverse Matrix} {} zu einer
\definitionsverweis {invertierbaren Matrix}{}{}
\mathl{M \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} über einem Körper $K$.
}{Die Äquivalenzrelation $\sim_H$ zu einer Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer kommutativen Gruppe.
}{Ein \stichwort {normiertes} {} Polynom.
}{Der Ausdruck
\mathl{b^q}{}
zu
\mathl{b \in \R_+}{} und
\mathl{q \in \Q}{.}
}{Die
\stichwort {bedingte Wahrscheinlichkeit} {}
zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{(M,P)}{.}
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Unter einer
Ebene
versteht man einen
\definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} {P + K v + K w
}
{ =} { { \left\{ P+sv+tw \mid s, t \in K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit zwei Vektoren
\mathl{v,w \in K^n}{,} die kein Vielfaches voneinander sind, und einem Aufpunkt
\mathl{P \in K^n}{.}
}{Die Matrix
\mathl{A \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \circ M
}
{ =} { E_{ n }
}
{ =} { M \circ A
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt die inverse Matrix von $M$.
}{Die Äquivalenzrelation $\sim_H$ ist auf $G$ durch
\mathl{x \sim_H y}{,} falls
\mathl{x-y \in H}{,} definiert.
}{Ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + 1 \cdot X^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt normiert.
}{Zu
\mathl{b \in \R_+}{} und
\mathl{q \in \Q}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ { \frac{ r }{ s } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {\mathlk{s > 0}{}} {} {}
setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b^q
}
{ =} { b^{ { \frac{ r }{ s } } }
}
{ \defeq} { \sqrt[s] {b^r}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(B)
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man zu jedem Ereignis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(E {{|}} B)
}
{ =} { { \frac{ P(E \cap B) }{ P(B) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
bedingte Wahrscheinlichkeit
von $E$ unter der Bedingung $B$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Zusammenhang von Zeilenumformungen und Elementarmatrizen.}{Der \stichwort {Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms} {} über einem Körper $K$.}{Der Satz über die Verteilung bei der $n$-fachen Hintereinanderausführung eines Bernoulli-Experimentes.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit Einträgen in $K$. Dann hat die
\definitionsverweis {Multiplikation}{}{}
mit den
$m \times m$-\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
von links mit $M$ folgende Wirkung.
\aufzaehlungdrei{$V_{ij} \circ M =$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$.
}{$(S_k (s)) \circ M =$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$.
}{$(A_{ij}(a)) \circ M =$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile (\mathlk{i \neq j}{}).
}}{Ein von $0$ verschiedenes Polynom
\mathl{P \in K[X]}{} vom Grad
$d$ besitzt maximal $d$ Nullstellen.}{Es sei ein Experiment gegeben, das nur die Werte $0$ und $1$ annehmen kann und bei dem der Wert $1$ die Wahrscheinlichkeit $p$ besitzt. Dann ist die Verteilung auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{,} die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass bei der $n$-fachen
\zusatzklammer {unabhängigen} {} {}
Hintereinaderausführung des Experimentes $k$-fach das Ereignis $1$ eintritt, durch die
\definitionsverweis {Binomialverteilung}{}{}
zur Stichprobenlänge $n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ gegeben.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme den Kern der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^4} {\R^2
} {.}
}
{
Wir bestimmen den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {I \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2x +3y \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,-w =0} { }
\mathdisp {II \, \, \, \, \, \, 4x +2y +2z + 5w =0} { . }
Es ist
\mathdisp {III=II - 2 \cdot I \, \, \, \, \, \, -4y +2z + 7w =0} { . }
Damit haben wir Stufengestalt erreicht.
Wir wählen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach III und nach I ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ - { \frac{ 3 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 3 }{ 2 } } \\1\\ 2\\0 \end{pmatrix}} { }
eine Lösung.
Wir wählen jetzt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ = }{ { \frac{ 7 }{ 4 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nach III und nach I ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { - { \frac{ 17 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} - { \frac{ 17 }{ 8 } } \\ { \frac{ 7 }{ 4 } } \\ 0\\1 \end{pmatrix}} { }
eine weitere Lösung, die von der ersten Lösung linear unabhängig ist. Da die Matrix den Rang $2$ besitzt
\zusatzklammer {was aus der Stufengestalt ablesbar ist} {} {,}
ist der Kern zweidimensional, also ist der Kern gleich
\mathdisp {{ \left\{ a \begin{pmatrix} - { \frac{ 3 }{ 2 } } \\1\\ 2\\0 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} - { \frac{ 17 }{ 8 } } \\ { \frac{ 7 }{ 4 } } \\ 0\\1 \end{pmatrix} \mid a,b \in \R \right\} }} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über $\Q$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.
}
{Geraden/Q^2/Lösungsverhalten/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $B$ eine
$n \times p$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien
\mathdisp {K^p \stackrel{B}{\longrightarrow} K^n \stackrel{A}{\longrightarrow} K^m} { }
die zugehörigen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Matrixprodukt}{}{}
\mathl{A \circ B}{} die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.
}
{
Die Gleichheit von linearen Abbildungen kann man auf der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{}
\mathl{e_1 , \ldots , e_p}{} des $K^p$ nachweisen. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( A \circ B \right) } { \left( e_k \right) }
}
{ =} { A(B(e_k))
}
{ =} {A { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} e_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } b_{jk} { \left( \sum_{ i = 1 }^{ m } a_{ij} e_i \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } { \left( \sum_{ j = 1 }^{ n } a_{ij} b_{jk} \right) } e_i
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ m } c_{ik} e_i
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dabei sind die Koeffizienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik}
}
{ =} { \sum_{ j = 1 }^{ n } a_{ij} b_{jk}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gerade die Einträge in der
\definitionsverweis {Produktmatrix}{}{}
\mathl{A \circ B}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Wir betrachten die drei Ebenen
\mathl{E,F,G}{} im $\Q^3$, die durch die folgenden Gleichungen beschrieben werden.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 5x-4y+3z = 2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 7x-5y+6z = 3 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { { \left\{ (x,y,z) \in \Q^3 \mid 2x-y+4z = 5 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Bestimme sämtliche Punkte
\mathl{E \cap F \setminus E \cap F \cap G}{.}
}
{
Wir betrachten das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x-4y+3z
}
{ =} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7x-5y+6z
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2x-y+4z
}
{ =} { 5
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems ist
\mathl{E \cap F \cap G}{.} Es ist $-7I+5II$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3y +9z
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{-2 I+5III}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3y +14 z
}
{ =} { 21
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Subtraktion dieser beiden Gleichungen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 z
}
{ =} { 20
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} {4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { - { \frac{ 35 }{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } } { \left( 2+4y-3z \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } } { \left( -10 - 4 \cdot { \frac{ 35 }{ 3 } } \right) }
}
{ =} { -2 - 4 \cdot { \frac{ 7 }{ 3 } }
}
{ =} { - { \frac{ 34 }{ 3 } }
}
}
{}{}{.}
Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E \cap F \cap G
}
{ =} { \left \{ \left( - { \frac{ 34 }{ 3 } } , \, - { \frac{ 35 }{ 3 } } , \, 4 \right) \right\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Durchschnitt
\mathl{E \cap F}{} wird durch das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x-4y+3z
}
{ =} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3y +9z
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben. Die Lösungsmenge ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { E \cap F
}
{ =} { { \left\{ \left( { \frac{ 2 }{ 3 } } -3z , \, { \frac{ 1 }{ 3 } } -3z , \, z \right) \mid z \in \Q \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} {4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich dabei der einzige Punkt aus
\mathl{E \cap F \cap G}{.} Somit ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E \cap F \setminus E \cap F \cap G
}
{ =} { { \left\{ \left( { \frac{ 2 }{ 3 } } -3z , \, { \frac{ 1 }{ 3 } } -3z , \, z \right) \mid z \in \Q , \, z \neq 4 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass die folgende Relation eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $\Z$ ist:
\mathdisp {x \sim y, \text{ falls } 6 \text{ ein Teiler von } x-y \text{ ist}} { . }
}
{
Es ist $6$ ein Teiler von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {x-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was die Reflexivität bedeutet. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet, dass $6$ ein Teiler von
\mathl{x-y}{} ist, was wiederum bedeutet, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x-y
}
{ =} { 6 \cdot c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem gewissen
\mathl{c \in \Z}{} ist. Durch Multiplikation mit $-1$ erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y-x
}
{ =} { - (x-y)
}
{ =} { 6 \cdot (- c)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist $6$ auch ein Teiler von
\mathl{y-x}{} und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \sim }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was insgesamt die Symmetrie bedeutet. Zum Nachweis der Transitivität seien schließlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \sim }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x-y
}
{ =} { 6c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y-z
}
{ =} {6 d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit gewissen
\mathl{c,d \in \Z}{.} Insgesamt ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x-z
}
{ =} {(x-y) +(y-z)
}
{ =} {6c+6d
}
{ =} {6 (c+d)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
so dass auch
\mathl{x-z}{} ein Vielfaches von $6$ ist. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim }{z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.
}
{
Wenn $R$ ein Körper ist, so gibt es das Nullideal und das Einheitsideal, die voneinander verschieden sind. Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $R$. Dann enthält $I$ ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist. Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ = }{ xx^{-1}
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei umgekehrt $R$ ein kommutativer Ring mit genau zwei Idealen. Dann kann $R$ nicht der Nullring sein. Es sei nun $x$ ein von $0$ verschiedenes Element in $R$. Das von $x$ erzeugte
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}
$Rx$ ist $\neq 0$ und muss daher mit dem anderen Ideal, also mit dem Einheitsideal übereinstimmen. Das heißt insbesondere, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ \in }{ Rx
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Das bedeutet also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ = }{ xr
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass $x$ eine Einheit ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Löse das folgende
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{\Z/(7)}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 \\6 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Das inverse Element zu $3$ in $\Z/(7)$ ist $5$, somit ist in
\mathl{II'= II- 2 \cdot 5 I=II +4 I}{} die Variable $x$ eliminiert. Dies ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4y
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x+6y
}
{ =} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x
}
{ =} { 6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die einzige Lösung ist also
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\2 \end{pmatrix}}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Ein
\definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{}
$K$ enthalte die Wurzeln
\mathkor {} {\sqrt[3]{2}} {und} {\sqrt[7]{2}} {.}
Zeige, dass $K$ auch
\mathl{\sqrt[21]{2}}{} enthält.
}
{
Aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 \cdot 7 -2 \cdot 3
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erhält man durch Division durch $21$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 3 } } -2 \cdot { \frac{ 1 }{ 7 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 21 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\sqrt[21]{2}
}
{ =} { 2^{ { \frac{ 1 }{ 21 } } }
}
{ =} { 2^{ { \frac{ 1 }{ 3 } } -2 \cdot { \frac{ 1 }{ 7 } } }
}
{ =} { 2^{ \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot 2^{-2 \cdot { \frac{ 1 }{ 7 } } }
}
{ =} { 2^{ \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot { \left( 2^{ \frac{ 1 }{ 7 } } \right) }^{-2}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sqrt[3]{2} \cdot { \left( \sqrt[7]{2} \right) }^{-2}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Da nach Voraussetzung der Körper die beiden Zahlen
\mathkor {} {\sqrt[3]{2}} {und} {\sqrt[7]{2}} {}
enthält, muss er auch das inverse Element
\mathl{{ \left( \sqrt[7]{2} \right) }^{-1}}{} und somit auch das angegebene Produkt enthalten.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2 (1+1)}
{
Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { \begin{cases} 1,\, \text{ falls } n \text{ eine Primzahl ist} \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
\aufzaehlungzwei {Bestimme
\mathl{x_{117}}{} und
\mathl{x_{127}}{.}
} {Konvergiert die Folge in $\Q$?
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_{117}
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da $117$ keine Primzahl ist, und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_{127}
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da $127$ eine Primzahl ist.
} {Die Folge konvergiert nicht, da sie unendlich oft den Wert $1$ und unendlich oft den Wert $0$ annimmt, da es unendlich viele Primzahlen gibt und da es unendlich viele Zahlen
\zusatzklammer {beispielsweise die geraden Zahlen $\neq 2$} {} {}
gibt, die keine Primzahlen sind.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Wir betrachten die Folge, die durch die Folgenglieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 6 } } \cdots { \frac{ 2n-1 }{ 2n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Zeige, dass dies eine Nullfolge ist.
}
{
Wir betrachten zusätzlich die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n
}
{ =} { { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } \cdot { \frac{ 6 }{ 7 } } \cdots \cdot { \frac{ 2n }{ 2n+1 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Beide Folgen sind streng fallend, da sich jedes Glied aus dem Vorgängerglied durch Multiplikation mit einem Faktor
\mathl{<1}{} ergibt. Da sie positiv sind, müssen nach
Korollar 47.3 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
die beiden Folgen konvergieren, sagen wir gegen $x$ bzw. $y$. Die Produktfolge ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_ny_n
}
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 5 }{ 6 } } \cdots { \frac{ 2n-1 }{ 2n } } \right) } { \left( { \frac{ 2 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } \cdot { \frac{ 6 }{ 7 } } \cdots \cdot { \frac{ 2n }{ 2n+1 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 2 }{ 3 } }\cdot { \frac{ 3 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 5 } } \cdots { \frac{ 2n }{ 2n+1 } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2n+1 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Diese Folge konvergiert gegen $0$, somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xy
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) (2).
Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_{n}
}
{ >} {x_{n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
da man die beteiligten $n$ Faktoren untereinander vergleichen kann. Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ \geq} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.
}
{
Es sei die Folge keine Nullfolge. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es unendlich viele Folgenglieder mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n }
}
{ >} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt. Dann gibt es auch unendlich viele Folgenglieder mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ >} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ <} { -\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nehmen wir das erste an. Wegen der Cauchy-Eigenschaft für
\mathl{{ \frac{ \epsilon }{ 2 } }}{} gibt es ein $n_0$ derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_m-x_n }
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m,n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Wenn man die beiden Aussagen verbindet, so gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem $x_n$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ >} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
unter Verwendung von
Lemma 24.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) (8)
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_m
}
{ =} { x_n + x_m -x_n
}
{ \geq} { x_n - \betrag { x_m -x_n }
}
{ \geq} {\epsilon- { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
}
{}{}{.}
Dieses wählen wir als $\delta$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.
}
{
Für die $2^{n}$ Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{2^n +1 , \ldots , 2^{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 2^n+1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{k}
}
{ \geq} { \sum_{k = 2^n+1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{2^{n+1} }
}
{ =} { 2^n \frac{1}{2^{n+1} }
}
{ =} { \frac{1}{2}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{k = 1}^{ 2^{n+1} } \frac{1}{k}
}
{ =} {1+ \sum_{i = 0}^n \left( \sum_{k = 2^{i} +1 }^{ 2^{i+1} } \frac{1}{k} \right)}
{ } {
}
{ \geq} {1 + (n+1) \frac{1}{2}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit ist die Folge der Partialsummen
\definitionsverweis {unbeschränkt}{}{}
und kann nach
Satz . (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
nicht
\definitionsverweis {konvergent}{}{}
sein.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Eine reelle Zahl $x$ besitze die Ziffernentwicklung
\mathdisp {0{,}523 \dotso} { }
im Dezimalsystem. Was kann man über die Ziffernentwicklung von $1/x$ sagen?
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0,523
}
{ =} { { \frac{ 523 }{ 1000 } }
}
{ \leq} { x
}
{ <} {0,524
}
{ =} { { \frac{ 524 }{ 1000 } }
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1000 }{ 524 } }
}
{ <} { { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1000 }{ 523 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Divisionen links und rechts führen auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1000 }{ 524 } }
}
{ =} { 1,90 \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1000 }{ 523 } }
}
{ =} { 1,912 \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{ \frac{ 1 }{ x } }
}
{ =} {1,9 \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die zweite Nachkommaziffer ist $0$ oder $1$, darüber hinaus kann man keine Aussage machen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Beweise den \stichwort {Satz von Vieta} {.}
}
{
Aufgrund von
Satz 49.5 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{ p^2 -4q }-p }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} { { \frac{ - \sqrt{ p^2 -4q }-p }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_1+x_2
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{ p^2 -4q }-p }{ 2 } } + { \frac{ - \sqrt{ p^2 -4q }-p }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{ p^2 -4q }-p - \sqrt{ p^2 -4q }-p }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ - 2p }{ 2 } }
}
{ =} { -p
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_1 \cdot x_2
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{ p^2 -4q }-p }{ 2 } } \cdot { \frac{ - \sqrt{ p^2 -4q }-p }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ { \left( \sqrt{ p^2 -4q }-p \right) } { \left( - \sqrt{ p^2 -4q }-p \right) } }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ - p^2+4 q +p^2 }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ 4 q }{ 4 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { q
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme für das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {-6 X^{9}-5X^8 -4X^7+ { \frac{ 1 }{ 9 } } X^6 + X^2 +X
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den Grad, den Leitkoeffizienten, den Leitterm und den Koeffizienten zu $X^6$.
}
{
Der Grad ist $9$, der Leitkoeffizient ist $-6$, der Leitterm ist
\mathl{-6 X^{9}}{} und der Koeffizient zu $X^6$ ist ${ \frac{ 1 }{ 9 } }$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Führe in $\Z/(5)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^3+4X^2+3X+4} {und} {T=3X^2+2X+1} {} durch.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3+4X^2+3X+4
}
{ =} { { \left( 3X^2+2X+1 \right) } 2 X + X +4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (1+3+2)}
{
Aus den Zahlen
\mathl{\{1 , \ldots , n \}}{} wird zufällig eine Zahl ausgewählt.
\aufzaehlungdrei{Erstelle in Abhängigkeit von $n$ eine Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Zahl eine Quadratzahl ist.
}{Ist die Folge der Wahrscheinlichkeiten monoton?
}{Konvergiert diese Wahrscheinlichkeit, wenn $n$ gegen unendlich geht?
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Zwischen
\mathkor {} {1} {und} {n} {}
gibt es
\mathl{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}{} Quadratzahlen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p(n)
}
{ =} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor }{ n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Folge
\mathl{p(n)}{} ist weder wachsend noch fallend. Wenn $n+1$ keine Quadratzahl ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor \sqrt{n+1} \right \rfloor
}
{ =} {\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{p(n+1)
}
{ =} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n+1} \right \rfloor }{ n+1 } }
}
{ =} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor }{ n+1 } }
}
{ <} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor }{ n } }
}
{ =} { p(n)
}
}
{}
{}{.}
Wenn hingegen $n+1$ eine Quadratzahl ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left \lfloor \sqrt{n+1} \right \rfloor
}
{ =} {\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{p(n+1)
}
{ =} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n+1} \right \rfloor }{ n+1 } }
}
{ =} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor +1 }{ n+1 } }
}
{ >} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor }{ n } }
}
{ =} { p(n)
}
}
{}
{}{,}
wobei sich die Abschätzung unmittelbar aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ >} { \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt.
}{Die Folge konvergiert gegen $0$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \leq} { p(n)
}
{ =} { { \frac{ \left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor }{ n } }
}
{ \leq} {{ \frac{ \sqrt{n} }{ n } }
}
{ =} {{ \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } }
}
}
{}{}{.}
Da
\mathl{{ \frac{ 1 }{ \sqrt{n} } }}{} eine Nullfolge ist, folgt mit
dem Quetschkriterium,
dass auch
\mathl{p(n)}{} eine Nullfolge ist.
}
}