Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/13/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	8	6	4	3	1	3	3	5	4	4	4	3	1	1	2	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Die Einheitsmatrix ${}E_{n}$ .
Der Graph zu einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$ .
Die Reflexivität einer Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ .
Ein abgeschlossenes Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$ .
Der Leitkoeffizient zu einem Polynom ${}P\in K[X]$ , ${}P\neq 0$ .
Der Einheitskreis.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.
Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
Die Periodizitätseigenschaften für die Kosinusfunktion.

Aufgabe * (2 Punkte)

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit ${}3$ Schneeglöckchen und ${}4$ Mistelzweigen ${}2{,}50$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus ${}5$ Schneeglöckchen und ${}2$ Mistelzweigen ${}2{,}30$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und ${}11$ Mistelzweigen?

Aufgabe * (2 Punkte)

Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen

\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es seien ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ und ${}A={\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}$ Matrizen über einem Körper ${}K$ mit

{}A\circ M={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.

Zeige, dass dann auch

{}M\circ A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Betrachte die Relation ${}\sim$ auf ${}G$ , die durch

x\sim y{\text{ genau dann, wenn }}x=y{\text{ oder }}x=y^{-1}

erklärt ist. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {25}}$ in ${}\mathbb {Z} /(89)$ .

Aufgabe * (1 Punkt)

Drücke

{\sqrt[{2}]{5}}\cdot {\sqrt[{3}]{7}}

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in K$ und durch die Rekursionsvorschrift

{}x_{n+1}=-x_{n}\,

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

{}x_{n}={\frac {3n^{3}-n^{2}-7}{2n^{3}+n+8}}\,

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ Folgen in einem angeordneten Körper ${}K$ mit ${}x_{n},y_{n}\in K_{+}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ . Es sei ${}x_{n}^{2}-y_{n}^{2}$ eine Nullfolge. Zeige, dass ${}x_{n}-y_{n}$ ebenfalls eine Nullfolge ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ und sei

{}x=0,{\overline {0\ldots 01}}\,

die reelle Zahl mit Periodenlänge ${}m$ (die Periode besteht aus ${}m-1$ Nullen und einer ${}1$ ). Sei

{}y=\sum _{i=0}^{m-1}z_{i}10^{i}\,

mit ${}z_{i}\in \{0,1,2,\ldots ,9\}$ . Zeige

{}xy=0,{\overline {z_{m-1}z_{m-2}\ldots z_{1}z_{0}}}\,.

Aufgabe (4 Punkte)

Erläutere, wie man Lücken auf der Zahlengeraden erkennen und auffüllen kann.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$ . Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.