Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/13/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 8 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 1 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 2 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Einheitsmatrix} {} $E_n$.
}{Der \stichwort {Graph} {} zu einer Abbildung \maabb {F} {L} {M } {.}
}{Die \stichwort {Reflexivität} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.
}{Ein \stichwort {abgeschlossenes Intervall} {} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.
}{Der \stichwort {Leitkoeffizient} {} zu einem Polynom $P \in K[X]$, $P \neq 0$.
}{Der \stichwort {Einheitskreis} {.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.}{Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.}{Die Periodizitätseigenschaften für die Kosinusfunktion.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}50}{} \euro\ und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}30}{} \euro . Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8}
{
Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \circ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Betrachte die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
$\sim$ auf $G$, die durch
\mathdisp {x \sim y \text{ genau dann, wenn } x =y \text{ oder } x = y^{-1}} { }
erklärt ist. Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{25}}{} in
\mathl{\Z/(89)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Drücke
\mathdisp {\sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[3]{7}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$ sei durch einen Anfangswert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und durch die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}
}
{ =} {- x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} mit
\mathl{x_n,y_n \in K_+}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Es sei
\mathl{x_n^2 -y_n^2}{} eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{x_n -y_n}{} ebenfalls eine Nullfolge ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{m \in \N_+}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {0, \overline{0 \ldots 0 1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die reelle Zahl mit Periodenlänge $m$
\zusatzklammer {die Periode besteht aus
\mathl{m-1}{} Nullen und einer $1$} {} {.}
Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { \sum_{i = 0}^{m-1} z_i 10^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{z_i \in \{0,1,2 , \ldots , 9\}}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy
}
{ =} { 0, \overline{z_{m-1} z_{m-2} \ldots z_1 z_0}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Erläutere, wie man Lücken auf der Zahlengeraden erkennen und auffüllen kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {X^3+4X^2-7X+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {X^3-2X^2+5X+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^\pi} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(-5,5)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(-4,-1)}{} läuft.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Was ist wahrscheinlicher: Ein Lottogewinn mit sechs Richtigen oder, dass bei einem $24$-fachen Münzwurf stets Kopf fällt?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Beweise die Bayessche Formel.
}
{} {}