Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/13/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 8 }
\renewcommand{\asechs}{ 6 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 1 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 2 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Einheitsmatrix} {} $E_n$.
}{Der \stichwort {Graph} {} zu einer Abbildung \maabb {F} {L} {M } {.}
}{Die \stichwort {Reflexivität} {} einer \definitionsverweis {Relation}{}{} $R$ auf einer Menge $M$.
}{Ein \stichwort {abgeschlossenes Intervall} {} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.
}{Der \stichwort {Leitkoeffizient} {} zu einem Polynom $P \in K[X]$, $P \neq 0$.
}{Der \stichwort {Einheitskreis} {.} }
}
{
\aufzaehlungsechs{Die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E_{ n }
}
{ \defeq} { \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nennt man die Einheitsmatrix.
}{Man nennt
\mathdisp {\Gamma_F={ \left\{ (x,F(x)) \mid x \in L \right\} } \subseteq L \times M} { }
den Graphen der Abbildung $F$.
}{Die Relation $R$ heißt reflexiv, wenn
\mathl{xRx}{} für alle
\mathl{x \in M}{} gilt.
}{Eine Teilmenge der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[a,b]
}
{ =} { { \left\{ x \in K \mid a \leq x \leq b \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt abgeschlossenes Intervall in $K$.
}{Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { a_0 + a_1X+a_2X^2 + \cdots + a_nX^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a_n \neq 0}{.} Dann heißt $a_n$ der Leitkoeffizient von $P$.
}{Der Einheitskreis ist die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ \defeq} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.}{Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.}{Die Periodizitätseigenschaften für die Kosinusfunktion.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum
des $K^n$
\zusatzklammer {mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation} {} {.}}{Die Intervalle
\mathbed {I_n=[a_n,b_n]} {}
{n \geq 1} {}
{} {} {} {,}
mit den Grenzen
\mathdisp {a_n= { \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }^n \text{ und } b_n = { \left( 1+ \frac{1}{n} \right) }^{n+1}} { }
definieren eine Intervallschachtelung.}{\aufzaehlungdrei{Es ist
\mathl{\cos \left( x+2 \pi \right) = \cos x}{} für alle
\mathl{x \in \R}{.}
}{Es ist
\mathl{\cos \left( x+ \pi \right) = - \cos x}{} für alle
\mathl{x \in \R}{.}
}{Es ist
\mathl{\cos 0=1}{,}
\mathl{\cos \pi/2 =0}{,}
\mathl{\cos \pi=-1}{,}
\mathl{\cos 3\pi/2 =0}{} und $\cos 2 \pi =1$.
}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}50}{} \euro\ und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}30}{} \euro . Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?
}
{
Es sei $x$ der Preis für ein Schneeglöckchen und $y$ der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y
}
{ =} { 2{,}50
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5x +2y
}
{ =} {2{,}30
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-7x
}
{ =} { -2{,}10
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {0{,}30
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daraus ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {0{,}40
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 \cdot 0{,}3 + 11 \cdot 0{,}4
}
{ =} { 4{,}70
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Skizziere sieben Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in acht Punkten schneiden.
}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {7Geraden8Schnittpunkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 7Geraden8Schnittpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{8}
{
Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {.}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (e_i)
}
{ = }{w_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein soll und eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
nach
Lemma 35.6 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) (2)
für jede
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^n s_i e_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i \varphi { \left( e_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt, und jeder Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sich als eine solche Linearkombination schreiben lässt, kann es maximal nur eine solche lineare Abbildung geben.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Wir definieren nun umgekehrt eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m
} {,}
indem wir jeden Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der gegebenen Standardbasis als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} {\sum_{i = 1}^n s_i e_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi (v)
}
{ \defeq} { \sum_{i = 1}^n s_i w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ansetzen. Da die Darstellung von $v$ als eine solche
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
eindeutig ist, ist diese Abbildung wohldefiniert.}
{}
\teilbeweis {Zur Linearität.\leerzeichen{}}{}{}
{Für zwei Vektoren
\mathkor {} {u= \sum_{i = 1}^n s_i e_i} {und} {v= \sum_{i = 1}^n t_i e_i} {}
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi { \left( u+v \right) }
}
{ =} { \varphi { \left( { \left( \sum_{i = 1}^n s_ie_i \right) } + { \left( \sum_{i = 1}^n t_i e_i \right) } \right) }
}
{ =} { \varphi { \left( \sum_{i = 1}^n { \left( s_i + t_i \right) } e_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n (s_i + t_i) \varphi { \left( e_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i \varphi { \left( e_i \right) } + \sum_{i = 1}^n t_i \varphi (e_i)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \varphi { \left( \sum_{i = 1}^n s_i e_i \right) } + \varphi { \left( \sum_{i = 1}^nt_i e_i \right) }
}
{ =} { \varphi (u) + \varphi (v)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{}
{}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ \sum_{i = 1}^n t_i e_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi { \left( s v \right) }
}
{ =} { \varphi { \left( s { \left( \sum_{i = 1}^n t_i e_i \right) } \right) }
}
{ =} { \varphi { \left( \sum_{i = 1}^n s \cdot t_i e_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s \cdot t_i \varphi { \left( e_i \right) }
}
{ =} { s \cdot { \left( \sum_{i = 1}^n t_i \varphi { \left( e_i \right) } \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { s \cdot \varphi (v)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \circ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \circ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bedeutet ausgeschrieben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ xa+yc
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xb +yd
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ za +wc
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ zb+wd
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen der ersten und der vierten Gleichung sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(a,c)
}
{ \neq }{(0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(b,d)
}
{ \neq }{(0,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aus der zweiten Gleichung folgt nach
Korollar 34.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)),
dass es ein
\mathl{s \in K}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {sd
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {-sb
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der ersten Gleichung ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { sda-sbc
}
{ =} { s(da-bc)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { { \frac{ d }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { - { \frac{ b }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der dritten Gleichung folgt, dass es ein
\mathl{t \in K}{} gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} {tc
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} {-ta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der vierten Gleichung ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { tcb - tad
}
{ =} { -t (da-bc)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { - { \frac{ c }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { { \frac{ a }{ da-bc } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M \circ A
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} { \frac{ d }{ da-bc } } & - { \frac{ b }{ da-bc } } \\ - { \frac{ c }{ da-bc } } & { \frac{ a }{ da-bc } } \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } } \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} d & -b \\ - c & a \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } } \begin{pmatrix} ad-bc & -ab+ab \\ cd-cd & -cb +da \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ da-bc } } \begin{pmatrix} ad-bc & 0 \\ 0 & -cb +da \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Betrachte die
\definitionsverweis {Relation}{}{}
$\sim$ auf $G$, die durch
\mathdisp {x \sim y \text{ genau dann, wenn } x =y \text{ oder } x = y^{-1}} { }
erklärt ist. Zeige, dass $\sim$ eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{
Die Relation ist offenbar reflexiv. Zum Nachweis der Symmetrie sei
\mathl{x \sim y}{.} Im Fall
\mathl{x=y}{} ist natürlich auch
\mathl{y=x}{} und somit
\mathl{y \sim x}{.} Im Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {y^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt sich durch Invertieren der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^{-1}
}
{ =} { { \left( y^{-1} \right) }^{-1}
}
{ =} { y
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ebenfalls
\mathl{y \sim x}{.} Zum Nachweis der Transitivität sei
\mathl{x \sim y}{} und
\mathl{y \sim z}{.} Hier gibt es insgesamt vier Fälle. Bei
\mathl{x=y}{} und
\mathl{y=z}{} ist natürlich
\mathl{x=z}{.} Bei
\mathl{x=y}{} und
\mathl{y=z^{-1}}{} ist
\mathl{x=z^{-1}}{,} also
\mathl{x \sim z}{.} Bei
\mathl{x=y^{-1}}{} und
\mathl{y=z}{} ist
\mathl{x=y^{-1}=z^{-1}}{,} also wieder
\mathl{x \sim z}{.} Bei
\mathl{x=y^{-1}}{} und
\mathl{y=z^{-1}}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {y^{-1}
}
{ =} { { \left( z^{-1} \right) } ^{-1}
}
{ =} {z
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mathl{x \sim z}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{25}}{} in
\mathl{\Z/(89)}{.}
}
{
Der euklidische Algorithmus liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{89
}
{ =} { 3 \cdot 25 + 14
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{25
}
{ =} { 1 \cdot 14 +11
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{14
}
{ =} { 1 \cdot 11 +3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{11
}
{ =} { 3 \cdot 3 +2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3
}
{ =} { 1 \cdot 2 +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1
}
{ =} { 3 -1 \cdot 2
}
{ =} { 3 -1 \cdot ( 11- 3 \cdot 3 )
}
{ =} { 4 \cdot 3 -1 \cdot 11
}
{ =} { 4 \cdot ( 14-1 \cdot 11) -1 \cdot 11
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 4 \cdot 14 - 5 \cdot 11
}
{ =} { 4 \cdot 14 - 5 \cdot (25-1 \cdot 14)
}
{ =} { 9 \cdot 14 - 5 \cdot 25
}
{ =} { 9 \cdot ( 89-3 \cdot 25 ) - 5 \cdot 25
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {9 \cdot 89 -32 \cdot 25
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-32
}
{ =} { 57
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das inverse Element zu $25$ in
\mathl{\Z/(89)}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Drücke
\mathdisp {\sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[3]{7}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sqrt[2]{5} \cdot \sqrt[3]{7}
}
{ =} { 5^{ { \frac{ 1 }{ 2 } } } \cdot 7^{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }
}
{ =} { { \left( 5^3 \right) }^{ { \frac{ 1 }{ 6 } } } \cdot { \left( 7^2 \right) }^{ { \frac{ 1 }{ 6 } } }
}
{ =} { 125^{ \frac{ 1 }{ 6 } } \cdot 49^{ \frac{ 1 }{ 6 } }
}
{ =} { 6125^{ \frac{ 1 }{ 6 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\sqrt[6]{6125}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
$K$ sei durch einen Anfangswert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und durch die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}
}
{ =} {- x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Folge konstant gleich $0$. Diese Folge konvergiert gegen $0$. Für jeden anderen Startwert
\mathl{x_0 \neq 0}{} konvergiert die Folge nicht. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - { \left( -x \right) }
}
{ =} { x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wechseln sich in der Folge $x_0$ und $- x_0$ ab, sodass abwechselnd eine feste positive und eine feste negative Zahl auftreten. Eine solche Folge kann aber nicht konvergieren.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man die Folge
\zusatzklammer {durch Erweiterung mit $1/n^3$} {} {}
als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { \frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8}
}
{ =} { \frac{ 3 - \frac{1}{n} - \frac{7}{n^3} }{ 2+ \frac{1}{n^2}+ \frac{8}{n^3} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Folgen vom Typ
\mathkor {} {a/n, \, a/n^2} {und} {a/n^3} {}
sind Nullfolgen. Aufgrund der Summenregel für konvergente Folgen konvergiert der Zähler gegen $3$ und der Nenner gegen $2$, sodass nach der Quotientenregel die Folge insgesamt gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 3/2
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
\definitionsverweis {Folgen}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} mit
\mathl{x_n,y_n \in K_+}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Es sei
\mathl{x_n^2 -y_n^2}{} eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{x_n -y_n}{} ebenfalls eine Nullfolge ist.
}
{
Es sei
\mathl{\epsilon >0}{} vorgegeben. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon'
}
{ \defeq }{ \epsilon^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es wegen der Nullkonvergenz von
\mathl{x_n^2-y_n^2}{} ein
\mathl{n_0 \in \N}{} derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n^2-y_n^2 }
}
{ \leq} { \epsilon^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{n \geq n_0}{} ist. Für diese $n$ zeigen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-y_n }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch eine Fallunterscheidung. Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n,y_n
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, so ist wegen der Positivität direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-y_n }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei also umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \geq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_n
}
{ \geq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist jedenfalls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n +y_n
}
{ \geq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x_n+y_n } }
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ \epsilon } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist unter Verwendung der dritten binomischen Formel
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x_n-y_n }
}
{ =} { { \frac{ \betrag { x_n^2-y_n^2 } }{ x_n+y_n } }
}
{ =} { \betrag { x_n^2-y_n^2 } \cdot { \frac{ 1 }{ x_n+y_n } }
}
{ \leq} { \epsilon^2 \cdot { \frac{ 1 }{ \epsilon } }
}
{ =} { \epsilon
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{m \in \N_+}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {0, \overline{0 \ldots 0 1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die reelle Zahl mit Periodenlänge $m$
\zusatzklammer {die Periode besteht aus
\mathl{m-1}{} Nullen und einer $1$} {} {.}
Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { \sum_{i = 0}^{m-1} z_i 10^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{z_i \in \{0,1,2 , \ldots , 9\}}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy
}
{ =} { 0, \overline{z_{m-1} z_{m-2} \ldots z_1 z_0}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Die angegebene reelle Zahl ist der Grenzwert der Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_k
}
{ =} { 10^{- m}+ 10^{-2 m} + \cdots + 10^{-k m}+
}
{ =} { \sum_{j = 1}^k 10^{-j m}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist unter Verwendung des Distributivgesetzes
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{y x_k
}
{ =} { { \left( \sum_{i = 0}^{m-1} z_i 10^{i} \right) } { \left( \sum_{j = 1}^k 10^{-j m} \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^k { \left( \sum_{i = 0}^{m-1} z_i 10^{i} \right) } 10^{-j m}
}
{ =} { \sum_{j = 1}^k { \left( \sum_{i = 0}^{m-1} z_i 10^{-jm+i} \right) }
}
{ =} { z_{m-1} 10^{-1} + z_{m-2} 10^{-2} + \cdots + z_0 10^{-m} + z_{m-1} 10^{-m-1} + z_{m-2} 10^{-m-2} + \cdots + z_0 10^{-2m} + \cdots + z_{m-1} 10^{-(k-1) m -1} + z_{m-2} 10^{-(k-1)m -2} + \cdots + z_0 10^{-km}
}
}
{}
{}{}
Die Folge
\mathl{yx_k}{} konvergiert aufgrund der Rechengesetze für konvergente Folgen gegen $yx$, wegen der expliziten Beschreibung aber auch gegen die reelle Zahl
\mathdisp {0, \overline{z_{m-1} z_{m-2} \ldots z_0 }} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Erläutere, wie man Lücken auf der Zahlengeraden erkennen und auffüllen kann.
}
{Reelle Zahlen/Lücken/Auffüllen/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mathl{P \in K[X]}{} ein Polynom und
\mathl{a \in K}{.} Zeige, dass $a$ genau dann eine Nullstelle von $P$ ist, wenn $P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms
\mathl{X-a}{} ist.
}
{
Wenn $P$ ein Vielfaches von
\mathl{X-a}{} ist, so kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {(X-a)Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem weiteren Polynom $Q$ schreiben. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ =} { (a-a) Q(a)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Allgemeinen gibt es
aufgrund der Division mit Rest
eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { (X-a)Q +R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder aber den Grad $0$ besitzt, also so oder so eine Konstante ist. Einsetzen ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ =} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so muss der Rest
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein, und das bedeutet, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ (X-a)Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der beiden reellen Polynome
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {X^3+4X^2-7X+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} {X^3-2X^2+5X+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Ein Schnittpunkt liegt genau dann an den Stellen $x$ vor, die eine Nullstelle von
\mathl{P-Q}{} sind. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P-Q
}
{ =} {X^3+4X^2-7X+1- { \left( X^3-2X^2+5X+3 \right) }
}
{ =} { 6X^2-12X-2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir normieren dieses quadratische Polynom und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2- 2X- { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösungen dafür sind
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm \sqrt{ 4+ { \frac{ 4 }{ 3 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm \sqrt{ { \frac{ 16 }{ 3 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 2 \pm 4 \sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } } }{ 2 } }
}
{ =} { 1 \pm 2\sqrt{ { \frac{ 1 }{ 3 } } }
}
}
{}
{}{.}
Dies sind die $x$-Koordinaten der beiden Schnittpunkte.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Bestimme den Exponenten, die Potenz und die Basis im Ausdruck
\mathdisp {{ \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^\pi} { . }
}
{
In
\mathl{{ \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^\pi}{} ist der Gesamtausdruck die Potenz,
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 2 } }}{} ist die Basis und $\pi$ ist der Exponent.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(-5,5)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(-4,-1)}{} läuft.
}
{
Der Abstand der beiden Punkte ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r
}
{ =} { \sqrt{ 1^2 +6^2}
}
{ =} { \sqrt{37}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Kreisgleichung ist somit
\mathdisp {(X+5)^2 + (Y-5)^2= 37} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Was ist wahrscheinlicher: Ein Lottogewinn mit sechs Richtigen oder, dass bei einem $24$-fachen Münzwurf stets Kopf fällt?
}
{
Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser im Lotto ist der Kehrwert von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \binom { 49 } { 6 }
}
{ =} { { \frac{ 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 }{ 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot2\cdot 1 } }
}
{ =} { 13 983 816
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Wahrscheinlichkeit, $24$-mal hintereinander Kopf zu werfen, ist der Kehrwert von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^{24}
}
{ =} { 2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^{4}
}
{ >} { 1000 \cdot 1000 \cdot 16
}
{ =} {16 000 000
}
{ >} { 13 983 816
}
}
{}{}{.}
Die Wahrscheinlichkeit für den Lottogewinn ist also größer.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Beweise die Bayessche Formel.
}
{
Nach
Lemma 58.10 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
angewendet auf $A$ ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P(B_k {{|}} A)
}
{ =} { { \frac{ P(B_k \cap A) }{ P(A) } }
}
{ =} { { \frac{ P(B_k \cap A) }{ \sum_{ i = 1}^n P(B_i) \cdot P( A {{|}} B_i ) } }
}
{ =} { { \frac{ P(B_k) \cdot P(A {{|}} B_k) }{ \sum_{ i = 1}^n P(B_i) \cdot P( A {{|}} B_i ) } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}