Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/15/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 5 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 8 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 1 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein
\stichwort {Untervektorraum} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{K^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein \stichwort {Gruppenhomomorphismus} {} zwischen \definitionsverweis {Gruppen}{}{} \mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {.}
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem angeordneten Körper $K$ gegen $x \in K$.
}{Die \stichwort {Teilerbeziehung} {} zwischen den Polynomen $T$ und $P$ aus $K[X]$.
}{Die
\stichwort {Sinusreihe} {}
zu
\mathl{x \in \R}{.}
}{Die
\stichwort {Unabhängigkeit} {}
von Ereignissen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E,F
}
{ \subseteq} {M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
\mathl{(M, P)}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer kommutativen Gruppe $G$.}{Der Satz über Dezimalbruchfolgen und Cauchy-Folgen.}{Der Satz über die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Welche Folgerung kann man daraus schließen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2x
}
{ \geq} {7
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5x
}
{ \leq} { 12
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über $\Q$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {endliche Mengen}{}{}
mit $m$ bzw. $n$ Elementen und sei
\maabbdisp {f} {M} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Wie viele Abbildungen
\maabbdisp {s} {N} {M
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f \circ s
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ N }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt es?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe $R/ {\mathfrak a}$ zu einem Ideal
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem kommutativen Ring $R$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Begründe geometrisch, dass die Wurzeln
\mathl{\sqrt{n} }{,}
\mathl{ n \in \N }{,} als Länge von \anfuehrung{natürlichen}{} Strecken vorkommen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
in $K$ mit
\mathl{x_n \neq 0}{} für alle
\mathl{n \in \N}{} und
\mathl{\lim_{n \rightarrow \infty} x_n=x \neq 0}{.} Zeige, dass
\mathl{{ \left( \frac{1}{x_n} \right) }_{ n \in \N }}{} ebenfalls konvergent mit
\mathdisp {\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{x_n}= \frac{1}{x}} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,}
die im Dezimalsystem durch
\mathdisp {0,18 \overline{374}} { }
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in $K$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
in einem angeordneten Körper $K$ und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { y-x }
}
{ \leq} { b-a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein Körper und es seien $n$ verschiedene Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $n$ Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom Grad $\leq n-1$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P(a_i)
}
{ = }{ b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (3+2+3)}
{
Wir betrachten auf der Menge $C$ aller stetigen Funktionen von $\R$ nach $\R$ die folgende Relation: Es ist
\mathl{f \sim g}{,} falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion
\maabb {\alpha} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} {g \cdot \alpha
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
}{Zeige, dass aus
\mathl{f \sim g}{} folgt, dass die Nullstellenmenge von $f$ und von $g$ übereinstimmen.
}{Zeige, dass die beiden Funktionen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(x)
}
{ =} {x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht zueinander äquivalent sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von $\Q$ nach $\Q$ nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Vergleiche die beiden Zahlen
\mathdisp {\sqrt{3}^{ - { \frac{ 9 }{ 4 } } } \text{ und } \sqrt{3}^{- \sqrt{5} }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im $\R^2$ mit Mittelpunkt
\mathl{(2,7)}{,} der durch den Punkt
\mathl{(4,-3)}{} läuft.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 3 \sin^{ 4 } n -7n^3 +11n }{ 5 n^3 -4n^2 - \cos n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Ein Hellseher behauptet, dass er nicht nur die sechs Richtigen im Lotto voraussagen kann, sondern auch die Reihenfolge, in der sie gezogen werden. Wie hoch ist dafür die Wahrscheinlichkeit?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen
\mathl{x,y}{} aus
\mathl{\{1,2 , \ldots , 10\}}{} gezogen
\zusatzklammer {mit Zurücklegen} {} {.}
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass
\mathl{xy}{} eine
\definitionsverweis {Quadratzahl}{}{}
ist.
}
{} {}