Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/15/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	1	3	5	2	4	3	3	3	6	8	2	3	1	4	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Untervektorraum ${}U\subseteq K^{n}$.
2. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$.
3. Die Konvergenz einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ gegen ${}x\in K$.
4. Die Teilerbeziehung zwischen den Polynomen ${}T$ und ${}P$ aus ${}K[X]$.
5. Die Sinusreihe zu ${}x\in \mathbb {R}$.
6. Die Unabhängigkeit von Ereignissen

   ${}E,F\subseteq M\,$

   in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,P)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$ in einer kommutativen Gruppe ${}G$.
2. Der Satz über Dezimalbruchfolgen und Cauchy-Folgen.
3. Der Satz über die Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bei einem linearen Gleichungssystem führe das Eliminationsverfahren auf die Gleichung

${}0=0\,.$

Welche Folgerung kann man daraus schließen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&3&0\\5&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Lösungsmenge des Ungleichungssystems

${}2x\geq 7\,$

und

${}5x\leq 12\,$

über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ endliche Mengen mit ${}m$ bzw. ${}n$ Elementen und sei

$f\colon M\longrightarrow N$

eine Abbildung. Wie viele Abbildungen

$s\colon N\longrightarrow M$

mit

${}f\circ s=\operatorname {Id} _{N}\,$

gibt es?

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die algebraische Struktur der Restklassenringe ${}R/{\mathfrak {a}}$ zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln ${}{\sqrt {n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}K$ mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$. Zeige, dass ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$0,18{\overline {374}}$

gegeben ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass eine Cauchy-Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ beschränkt ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}[a,b]$ ein Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$ und es seien ${}x,y\in [a,b]$. Zeige

${}\vert {y-x}\vert \leq b-a\,.$

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Aufgabe * (8 (3+2+3) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge ${}C$ aller stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ die folgende Relation: Es ist ${}f\sim g$, falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion ${}\alpha \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit

${}f=g\cdot \alpha \,$

gibt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Zeige, dass aus ${}f\sim g$ folgt, dass die Nullstellenmenge von ${}f$ und von ${}g$ übereinstimmen.
3. Zeige, dass die beiden Funktionen

   ${}f(x)=x\,$

   und

   ${}g(x)=x^{2}\,$

   nicht zueinander äquivalent sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen von ${}\mathbb {Q}$ nach ${}\mathbb {Q}$ nicht gelten muss.

Aufgabe * (3 Punkte)

Vergleiche die beiden Zahlen

${\sqrt {3}}^{-{\frac {9}{4}}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {3}}^{-{\sqrt {5}}}.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Mittelpunkt ${}(2,7)$, der durch den Punkt ${}(4,-3)$ läuft.

Aufgabe * (4 Punkte)

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}:={\frac {3\sin ^{4}n-7n^{3}+11n}{5n^{3}-4n^{2}-\cos n}}\,$

in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (2 Punkte)

Ein Hellseher behauptet, dass er nicht nur die sechs Richtigen im Lotto voraussagen kann, sondern auch die Reihenfolge, in der sie gezogen werden. Wie hoch ist dafür die Wahrscheinlichkeit?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen ${}x,y$ aus ${}\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ${}xy$ eine Quadratzahl ist.