Stetige Funktionen/R/Äquivalenzrelation durch Multiplikation mit Einheit/Aufgabe

Wir betrachten auf der Menge ${}C$ aller stetigen Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ die folgende Relation: Es ist ${}f\sim g$, falls es eine nullstellenfreie stetige Funktion ${}\alpha \colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ mit

${}f=g\cdot \alpha \,$

gibt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Zeige, dass aus ${}f\sim g$ folgt, dass die Nullstellenmenge von ${}f$ und von ${}g$ übereinstimmen.
3. Zeige, dass die beiden Funktionen

   ${}f(x)=x\,$

   und

   ${}g(x)=x^{2}\,$

   nicht zueinander äquivalent sind.

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