Stetige Funktionen/R/Äquivalenzrelation durch Multiplikation mit Einheit/Aufgabe/Lösung

1. Es ist ${}f\sim f$, da

   ${}f=1\cdot f\,$

   ist, man also für ${}\alpha$ die konstante Funktion mit dem Wert ${}1$ nehmen kann, die stetig ist und keine Nullstelle besitzt. Zum Nachweis der Symmetrie sei

   ${}f=g\cdot \alpha \,$

   mit einer stetigen nullstellenfreien Funktion ${}\alpha$. Dann ist auch die Funktion

   ${\frac {1}{\alpha }}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{\alpha (x)}},$

   wohldefiniert, nullstellenfrei und nach Fakt auch stetig. Damit gilt

   ${}f\cdot {\frac {1}{\alpha }}=g\,.$

   Zum Nachweis der Transitivität gelte

   ${}f=g\cdot \alpha \,$

   und

   ${}g=h\cdot \beta \,$

   mit stetigen nullstellenfreien Funktionen ${}\alpha ,\beta$. Dann ist

   ${}f=g\cdot \alpha =h\cdot \beta \cdot \alpha \,$

   und ${}\beta \cdot \alpha$ ist ebenfalls nach Fakt eine stetige nullstellenfreie Funktion.

2. Es sei

   ${}f=g\cdot \alpha \,$

   mit ${}\alpha$ stetig und nullstellenfrei. Dann ist für jedes ${}x\in \mathbb {R}$

   ${}f(x)=g(x)\cdot \alpha (x)\,.$

   Wegen

   ${}\alpha (x)\neq 0\,$

   gilt

   ${}f(x)=0\,$

   genau dann, wenn

   ${}g(x)=0\,$

   ist. Dies bedeutet, dass ${}f$ und ${}g$ die gleichen Nullstellen besitzen.

3. Nehmen wir an, dass ${}x$ und ${}x^{2}$ im beschriebenen Sinne äquivalent sind. Dann gibt es eine stetige nullstellenfreie Funktion ${}\alpha$ mit

   ${}x^{2}=\alpha (x)\cdot x\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {R}$. Für ${}x\neq 0$ bedeutet dies

   ${}\alpha (x)={\frac {x^{2}}{x}}=x\,.$

   Wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von ${}\alpha$ bedeutet dies nach Fakt  (2), dass auch

   ${}\alpha (0)=0\,$

   sein muss. Dies widerspricht aber der vorausgesetzten Nullstellenfreiheit von ${}\alpha$.

Zur gelösten Aufgabe