Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/20/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	2	6	5	4	1	2	1	3	3	7	3	7	2	7	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit ${}m$ Gleichungen in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.
2. Elementare Zeilenumformungen an einer ${}m\times n$- Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
3. Eine Teilfolge einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Die Eulersche Zahl.
5. Eine rationale Funktion über einem Körper ${}K$.
6. Ein Ereignis in einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Festlegungssatz für lineare Abbildungen

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

2. Der Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.
3. Die Periodizitätseigenschaften für die Sinusfunktion.

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

$-5x-{\frac {1}{3}}y=1{\text{ und }}-7x+{\frac {1}{2}}y={\frac {2}{3}}.$

Aufgabe * (6 (1+1+4) Punkte)

1. Skizziere vier Geraden im Raum mit der Eigenschaft, dass es insgesamt zwei Schnittpunkte gibt.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene mit der Eigenschaft, dass es insgesamt drei Schnittpunkte gibt.
3. Zeige, dass es in der Ebene nicht vier Geraden geben kann, die insgesamt zwei Schnittpunkte besitzen.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist ${}\varphi (0)=0$.
2. Für jede Linearkombination ${}\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}$ in ${}K^{n}$ gilt

   ${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}\,.$

Aufgabe * (4 (0.5+0.5+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Relation im nebenstehenden Diagramm, wobei eine Pfeil ${}x\rightarrow y$ bedeutet, dass ${}x$ von ${}y$ gefressen wird.

1. Was frisst ein Polarbear?
2. Von wem wird ein Capelin gefressen?
3. Welche Tiere stehen an der Spitze der Nahrungskette?
4. Ist die Relation transitiv?
5. Ist die Relation antisymmetrisch?

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme, ob die reelle Zahl

${\sqrt {1000000000000000000000000000}}$

rational ist oder nicht.

Aufgabe * (2 Punkte)

Lucy Sonnenschein möchte wissen, ob sie von ihrem Bauchnabel im Verhältnis des goldenen Schnittes geteilt wird. Sie selbst ist ${}1,75$ Meter groß und ihr Bauchnabel befindet sich auf ${}1,05$ Meter Höhe. Liegt das Verhältnis ${}{\frac {1,05}{1,75}}$ unterhalb oder oberhalb des goldenen Schnittes, der ${}{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}$ ist?

Aufgabe * (1 Punkt)

Betrachte die folgenden Aussagen.

1. In den ganzen Zahlen besitzt nicht nur jede natürliche Zahl ein Negatives, sondern jede ganze Zahl besitzt darin ein Negatives.
2. In den rationalen Zahlen besitzt nicht nur jede von ${}0$ verschiedene ganze Zahl ein (multiplikativ) Inverses, sondern jede von ${}0$ verschiedene rationale Zahl besitzt darin ein Inverses.

Formuliere eine entsprechende Aussage für den Übergang von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in ${}K$. Zeige, dass die Summenfolge ${}{\left(x_{n}+y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(x_{n}+y_{n}\right)}={\left(\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\right)}+{\left(\lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}\right)}\,$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die ${}17.$ Nachkommastelle in der (kanonischen) Dezimalentwicklung eine ${}0$ ist. Welche Eigenschaften eines Ideals erfüllt diese Menge, welche nicht?

Aufgabe * (7 (2+3+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}M$ die Menge aller Intervallschachtelungen auf ${}K$. Wir sagen, dass zwei Intervallschachtelungen ${}I_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ und ${}J_{n},\,n\in \mathbb {N} ,$ zueinander verfeinerungsäquivalent sind, wenn folgendes gilt: Zu jedem ${}m\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}J_{n}\subseteq I_{m}$ und zu jedem ${}n\in \mathbb {N}$ gibt es ein ${}k\in \mathbb {N}$ mit ${}I_{k}\subseteq J_{n}$.

1. Zeige, dass die Verfeinerungsäquivalenz eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ ist.
2. Sei ${}K=\mathbb {R}$. Zeige, dass zwei verfeinerungsäquivalente Intervallschachtelungen die gleiche reelle Zahl definieren.
3. Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Intervallschachtelungen, die nicht verfeinerungsäquivalent sind, die aber die gleiche reelle Zahl definieren.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ die einzige Lösung ist.

2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ eine Lösung ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum ${}M=\{1,2,3,\ldots ,142\}$ mit der Laplace-Dichte. Es sei ${}E$ das Ereignis, dass eine Zahl aus ${}M$ ein Vielfaches der ${}11$ ist, und ${}F$ das Ereignis, dass eine Zahl aus ${}M$ ein Vielfaches der ${}13$ ist. Sind ${}E$ und ${}F$ unabhängig?

Aufgabe * (8 (3+3+2) Punkte)

Es sei ein Kreis mit fünf (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit ${}1,2,3,4,5$ bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich ${}{\frac {1}{3}}$.

1. Der Bewegungsprozess wird zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt.
2. Der Bewegungsprozess wird dreimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man zu den verschiedenen Positionen gelangt.
3. Der Bewegungsprozess wird viermal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass man danach wieder in der Ausgangsposition ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Diskutiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der Addition und der Multiplikation? Betrachte dazu die verschiedenen Zahlenbereiche ${}\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R}$.