Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/25/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	10	4	2	1	2	3	3	4	3	10	2	2	3	1	3	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Basis im ${}K^{m}$.
2. Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
3. Eine Folge in einer Menge ${}M$.
4. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
5. Das Cauchy-Folgen-Modell für die reellen Zahlen.
6. Ein Laplace-Raum.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z}$.
2. Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
3. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.

Aufgabe (10 Punkte)

Formulieren und beweisen Sie Ihren Lieblingssatz der Vorlesung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&+4w&=&-2\\2x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&7\\4x&+6y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&3\\x&+3y&+5z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (2 Punkte)

Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die inverse Matrix von

${\begin{pmatrix}-{\frac {9}{4}}&0&\cdots &\cdots &0\\0&{\frac {50}{3}}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &-{\frac {5}{3}}&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&10^{7}&0\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {2}{11}}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme, ob die durch die Relationstabelle

${}\,$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$
${}A$	${}\,$	${}\,$	${}\,$	${}\,$
${}B$	${}\,$	${}\times$	${}\,$	${}\times$
${}C$	${}\,$	${}\,$	${}\times$	${}\,$
${}D$	${}\,$	${}\times$	${}\,$	${}\times$

beschriebene Relation ${}R$ auf der Menge ${}\{A,B,C,D\}$ reflexiv, symmetrisch, transitiv, antisymmetrisch ist.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ${}p\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(2)$ und ${}q\colon \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /(5)$ die kanonischen Abbildungen in die Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(2)$ bzw. ${}\mathbb {Z} /(5)$. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(5),\,x\longmapsto (p(x),q(x)).$

1. Berechne ${}\varphi (113)$.
2. Finde ein Urbild von ${}({\overline {1}},{\overline {0}})$ und eines von ${}({\overline {0}},{\overline {1}})$.
3. Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Vergleiche

${\sqrt {3}}+{\sqrt {10}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$. Es gelte

${}\vert {x_{n}-x_{n-1}}\vert \leq {\frac {1}{n}}\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Folgt daraus, dass ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist?

Aufgabe * (10 (1+1+5+2+1) Punkte)

Es sei ${}M$ die Menge derjenigen rationalen Zahlen, deren Dezimalentwicklung die Periodenlänge ${}0,1$ oder ${}2$ besitzt (Periodenlänge ${}0$ bedeutet Dezimalbruch).

1. Gehört ${}{\frac {1}{11}}$ zu ${}M$?
2. Gehört ${}{\frac {1}{37}}$ zu ${}M$?
3. Wie sieht man einem gekürzten Bruch ${}a/b$ an, ob er zu ${}M$ gehört oder nicht?
4. Ist ${}M$ mit der Addition eine Untergruppe von ${}\mathbb {R}$?
5. Ist ${}M$ mit der Addition und der Multiplikation ein Unterring von ${}\mathbb {R}$?

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen (${}n\in \mathbb {N} _{+}$)

${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,$

derart an, dass ${}b_{n}-a_{n}$ eine Nullfolge ist, dass ${}\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}I_{n}$ aus einem einzigen Punkt besteht, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse die quadratische Gleichung ${}3x^{2}+x+4=0$ über ${}\mathbb {Z} /(7)$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-4x+2.$

Bestimme, ausgehend vom Intervall ${}[1,2]$, mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge ${}1/8$, in dem eine Nullstelle von ${}f$ liegen muss.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Kosinusfunktion.

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine faire Münze werde achtmal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei (zumindest) sechsmal hintereinander Kopf geworfen wird?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien ${}p_{1},\ldots ,p_{k}$ verschiedene Primzahlen und ${}n$ ihr Produkt. Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ mit der Laplace-Dichte. Es sei ${}E_{i}$ das Ereignis, das eine Zahl aus ${}M$ ein Vielfaches von ${}p_{i}$ ist. Zeige, dass die ${}E_{i}$ vollständig unabhängig sind.