Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/7/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	7	2	2	2	3	4	2	4	2	3	1	3	3	3	8	2	2	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Basis im ${}K^{m}$.
2. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
3. Eine Teilfolge einer Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$.
4. Der Polynomring über einem Körper ${}K$ (einschließlich der darauf definierten Verknüpfungen).
5. Eine Drehung in ${}\mathbb {R} ^{2}$.
6. Der Produktraum der diskreten Wahrscheinlichkeitsräume ${}(M_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},\mu _{n})$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

2. Der Satz über die Anordnung von Cauchy-Folgen über einem angeordneten Körper.
3. Der Satz über die Homomorphismuseigenschaft der reellen Exponentialfunktionen.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Anna-Lena, Marie-Simone, Hans-Peter und Fritz-Franz gehen zur Farbberatung. Es ergibt sich folgende Empfehlung. Anna-Lena stehen die Farben grün, gelb und pink, Marie-Simone steht gelb und feuerrot, Hans-Peter steht grün, grau und graublau, Fritz-Franz stehen alle bisher genannten Farben außer graublau, dafür zusätzlich noch violett. Es sei ${}P$ die Menge der vier Personen und ${}F$ die Menge der erwähnten Farben zuzüglich blau.

1. Erstelle eine Tabelle und ein Verbindungsdiagramm, die die Relation aus Personen und Farben wiedergibt.
2. Bestimme die Fasern zu blau, zu grün und zu Marie-Simone.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}f\colon M\rightarrow N$ eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung

${}x\sim y\,,$

wenn

${}f(x)=f(y)\,,$

eine Äquivalenzrelation auf ${}M$ definiert wird.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}(M,*)$ und ${}(N,\circ )$ Mengen mit Verknüpfungen und es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine mit den Verknüpfungen verträgliche surjektive Abbildung, es gelte also

${}\varphi (x*y)=\varphi (x)\circ \varphi (y)\,.$

Die Verknüpfung auf ${}M$ sei assoziativ. Zeige, dass auch die Verknüpfung auf ${}N$ assoziativ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a<b$ rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung

$[0,1]\longrightarrow [a,b]$

gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch

${}x_{n}={\begin{cases}1,\,{\text{ falls }}n=2^{k}{\text{ mit }}k\in \mathbb {N} \,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definiert.

1. Bestimme ${}x_{8}$ und ${}x_{9}$.
2. Konvergiert die Folge in ${}\mathbb {Q}$?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },\,{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ drei Folgen in ${}K$. Es gelte ${}x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$ und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(z_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert ${}a$. Zeige, dass dann auch ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen diesen Grenzwert ${}a$ konvergiert.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige

${}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {n}{n+1}}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$1,777{\overline {15}}$

gegeben ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Ist die Zahl ${}{\sqrt {7}}+{\sqrt {7}}$ rational?

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {3n^{\frac {5}{4}}-2n^{\frac {4}{3}}+n}{4n^{\frac {7}{5}}+5n^{\frac {1}{2}}+1}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien ${}x$ und ${}y$ zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Vergleiche die Division mit Rest in ${}\mathbb {Z}$ und in ${}K[X]$ (${}K$ ein Körper).

Aufgabe * (8 (3+2+3) Punkte)

1. Bestimme ein Polynom ${}P$ vom Grad ${}\leq 3$ mit

   ${}P(-1)=-4\,,$

   ${}P(0)=2\,,$

   ${}P(1)=2\,$

   und

   ${}P(2)=3\,$

2. Bestimme ein normiertes Polynom ${}Q$ vom Grad ${}3$ mit

   ${}Q(0)=1\,,$

   ${}Q(2)=3\,$

   und

   ${}Q(3)=10\,.$

3. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen zu ${}P$ und zu ${}Q$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ${}42$ ist?

Aufgabe * (2 Punkte)

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt ${}(0,0)$. Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander drei Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest ${}3$ besitzt?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K=\mathbb {Z} /(11)$ der Körper mit elf Elementen. Im Vektorraum ${}K^{2}$ werden zufällig drei Punkte ausgewählt, wobei Wiederholungen erlaubt sind. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Punkte auf einer Geraden liegen?