Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 26/latex

\setcounter{section}{26}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Halbiere die $1$ im Dezimalsystem zehnmal hintereinander.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Welche der folgenden Zahlen sind Dezimalbrüche?
\mathdisp {{ \frac{ 3 }{ 6 } } ,\, { \frac{ 2 }{ 6 } } ,\, { \frac{ 2 }{ 6 } } \cdot 15 , \, 2^{-3} \cdot 7 \cdot 11, \, 2^{-3} \cdot 7 \cdot 11^ {-1}, \, \sum_{n = 1}^6 { \frac{ 1 }{ n } }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathl{0{,}5 \cdot 0{,}2}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {0{,}000000000000000007 \cdot 0{,}0000000000000006} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathl{1{,}0205 \cdot 0{,}0073}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Was ist das kleinste ganzzahlige Vielfache von
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 84 } }}{,} das ein \definitionsverweis {Dezimalbruch}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungzwei {Bestimme die \definitionsverweis {Stammbrüche}{}{,} die zugleich \definitionsverweis {Dezimalbrüche}{}{} und größer als
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 100 } }}{} sind, und liste sie in absteigender Reihenfolge auf. } {Wie viele rationale Zahlen, die sowohl Stammbrüche als auch Dezimalbrüche sind, gibt es zwischen \mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ 1000 } }} {und} {1} {} \zusatzklammer {einschließlich} {} {.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {{ \left( 3 \cdot 10^{-1}+6 \cdot 10^{-2} +7 \cdot 10^{-3} \right) } \cdot { \left( 5 \cdot 10^{2}+9 \cdot 10^{1} +5 \cdot 10^{0} +2 \cdot 10^{-1}+4 \cdot 10^{-3} \right) }} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {6{,}9 \cdot 10^{-4} \cdot 7{,}3 \cdot 10^{-9}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {4{,}3 \cdot 10^{-6} + 6{,}4 \cdot 10^{-5}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Dezimalbruch}{}{} ist, wenn in der gekürzten Bruchdarstellung der Nenner die Form
\mathl{2^{i} \cdot 5^{j}}{} mit
\mathl{i,j \in \N}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Eine rationale Zahl
\mathl{z\neq 0}{} sei in der Form
\mathdisp {\pm \prod_{p \text{ Primzahl} } p^{\nu_p(z)}} { }
gegeben. Woran erkennt man, ob es sich um einen Dezimalbruch handelt oder nicht?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne im $7$er-System
\mathdisp {0{,}026 \cdot 3{,}605} { . }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne im $5$er-System
\mathdisp {0{,}0230241 \cdot 32{,}1102 + 4{,}301 \cdot 2{,}133} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{a \neq b}{} Basen zu einem Stellenwertsystem \zusatzklammer {$a$-er System und $b$-er System} {} {.} Es sei $z$ eine \definitionsverweis {rationale Zahl}{}{,} die im Stellenwertsystem zur Basis $a$ eine abbrechende Darstellung als Kommazahl besitzt. Gilt dies dann auch im Stellenwertsystem zur Basis $b$?

}
{} {}

Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S }
{ \subseteq }{R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eines \definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{} $R$ heißt \definitionswort {Unterring}{,} wenn $0,1,-1 \in S$ ist und wenn $S$ unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine fixierte positive natürliche Zahl. Zeige, dass die Menge aller rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von $n$ als Nenner schreiben kann, einen \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $\Q$ bildet.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ {\mathbb P} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge der \definitionsverweis {Primzahlen}{}{.} Zeige, dass die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R_T }
{ =} { { \left\{ q \in \Q \mid q \text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus } T \text{ vorkommen} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Unterring}{}{} von $\Q$ ist. Was ergibt sich bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \{3 \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ \{2,5 \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ = }{ {\mathbb P} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{}
} {}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Approximiere die rationale Zahl
\mathl{{ \frac{ 7 }{ 3 } }}{} durch einen \definitionsverweis {Dezimalbruch}{}{} mit einem Fehler von maximal $10^{-4}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Approximiere die rationale Zahl
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 6 } }}{} durch einen \definitionsverweis {Dezimalbruch}{}{} mit einem Fehler von maximal $10^{-2}$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass für jedes $k \in \N_+$ der Dezimalbruch
\mathdisp {\sum_{i = 1}^k 3 \cdot 10^{-i}} { }
die rationale Zahl
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 3 } }}{} mit einem Fehler von maximal $10^{-k}$ approximiert \zusatzklammer {von unten} {} {}.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Runde die folgenden Zahlen auf zwei Stellen nach dem Komma.
\mathdisp {7{,}874802, \, { \frac{ 4 }{ 9 } } ,\, { \frac{ 3 }{ 13 } } ,\, 4 \cdot 5^{-1} \cdot 6^{-1}} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bei der Onlinepartnervermittlung \anfuehrung{e-Tarzan meets e-Jane}{} verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange \zusatzklammer {in gerundeten Jahren} {} {} dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland \zusatzklammer {ca. $65 000 000$} {} {} verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Halbiere den Dezimalbruch
\mathl{297{,}0752209}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches
\mathdisp {760982393473{,}90354771045729} { }
die dritte Nachkommaziffer.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne den fünften Anteil des Dezimalbruches
\mathdisp {7601{,}4550738} { . }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass der Algorithmus zur Berechnung des fünften Anteils eines Dezimalbruches korrekt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Die Schüler sollen die $1$ im Dezimalsystem zehnmal hintereinander halbieren. Heinz Ngolo wundert sich über Gabi Hochster, die anfängt, die Potenzen der $5$, also $5^1,5^2,5^3, ...$ auszurechnen. Er sagt: \anfuehrung{Hast du wieder nicht aufgepasst}{?} Sie sagt: \anfuehrung{Doch, das ist doch das gleiche}{.} Wer hat recht?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} von zwei Dezimalbrü\-chen
\mathl{a_1}{} und $a_2$ wieder ein Dezimalbruch ist. Gilt dies auch für das arithmetische Mittel von drei Dezimalbrüchen?

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

In den Klassenarbeiten hat Mustafa Müller eine
\mathl{3 \text{ plus}}{} \zusatzklammer {${=2{,}7}$} {} {,} eine $1\text{ minus}$ \zusatzklammer {${=1{,}3}$} {} {,} eine $3$ und eine $2\text{ plus}$ geschrieben. Berechne seinen Notendurchschnitt als Bruch, und runde das Ergebnis.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Berechne
\mathl{401{,}0013507 \cdot 0{,}002056}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Approximiere die rationale Zahl
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 7 } }}{} durch einen \definitionsverweis {Dezimalbruch}{}{} mit einem Fehler von maximal $10^{-6}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{2}
{

Halbiere den Dezimalbruch
\mathl{30437{,}09134508902}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme vom achten Teil des Dezimalbruches
\mathdisp {876059301193674{,}2903347310459901} { }
die fünfte Nachkommaziffer.

}
{} {}