Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Arbeitsblatt 25

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Ein Bakterium möchte entlang des Äquators die Erde umrunden. Es ist ziemlich klein und schafft am Tag genau ${}2$ Millimeter. Wie viele Tage braucht es für eine Erdumrundung?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass es in einem archimedisch angeordneten Körper zu jedem Element ${}x\in K$ eine ganze Zahl ${}m$ mit ${}m\leq x$ gibt.

Aufgabe

Wie oft muss man eine Strecke der Länge ${}{\frac {7}{4293}}$ Meter mindestens hintereinander legen, um einen Kilometer zu erhalten?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass es für jedes ${}s\in K$ eine ganze Zahl ${}q$ und ein $t\in K$ mit $0\leq t<1$ und mit

${}s=q+t\,$

gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Zeige, dass die halboffenen Intervalle

${[n,n+1[}={\left\{x\in K\mid x\geq n{\text{ und }}x<n+1\right\}},\,n\in \mathbb {Z} ,$

eine disjunkte Überdeckung von ${}K$ bilden.

Aufgabe

Es sei

${}n=dq+r\,$

das Ergebnis einer Division mit Rest innerhalb der ganzen Zahlen. Zeige, dass

${}q=\left\lfloor {\frac {n}{d}}\right\rfloor \,$

ist.

Aufgabe

Berechne die Gaußklammer

$\left\lfloor {\frac {513}{21}}\right\rfloor .$

Aufgabe

Berechne die Gaußklammer

$\left\lfloor -{\frac {734}{29}}\right\rfloor .$

Aufgabe *

Es sei ${}z$ eine rationale Zahl. Zeige, dass ${}z$ genau dann ganzzahlig ist, wenn

${}\left\lfloor -z\right\rfloor =-\left\lfloor z\right\rfloor \,$

gilt.

Aufgabe *

Es seien ${}x,y$ rationale Zahlen. Zeige, dass

${}x-\left\lfloor x\right\rfloor =y-\left\lfloor y\right\rfloor \,$

genau dann gilt, wenn es ein ${}n\in \mathbb {Z}$ mit ${}y=x+n$ gibt.

Aufgabe

Runde die folgenden Brüche auf ganze Zahlen.

1. ${}{\frac {317}{15}}$,
2. ${}{\frac {982}{323}}$,
3. ${}-{\frac {477}{26}}$.

Aufgabe

Führe die folgenden Rechnungen durch, wobei die Angaben als gemischte Brüche zu lesen sind. Auch die Ergebnisse sollen als gemischte Brüche angegeben werden.

1. ${}7{\frac {4}{9}}+2{\frac {6}{7}}$,
2. ${}8{\frac {2}{7}}+4{\frac {10}{13}}$,
3. ${}5{\frac {8}{5}}\cdot 3{\frac {3}{4}}$.

Aufgabe

Wir betrachten positive rationale Zahlen als gemischte Brüche.

a) Zeige, dass bei der Addition von zwei gemischten Brüchen der Bruchterm der Summe nur von den Bruchtermen der Summanden abhängt.

b) Wie sieht dies mit dem ganzen Teil aus?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion

$K\setminus \{0\}\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{-1}.$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion

$K\setminus \{0\}\longrightarrow K,\,x\longmapsto -x^{-1}.$

Aufgabe

Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion

$\mathbb {Q} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto -{\frac {7}{4}}x^{-3}.$

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto x^{3}-x,$

weder wachsend noch fallend ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \vert {x}\vert .$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Bestimme das Monotonieverhalten der Gaußklammer

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto \left\lfloor x\right\rfloor .$

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei

$f\colon K\longrightarrow K$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}f$ genau dann konstant ist, wenn ${}f$ gleichzeitig wachsend und fallend ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei

$f\colon K\longrightarrow K$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}f$ genau dann wachsend ist, wenn die Funktion

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto -f(x),$

fallend ist, und dass dies äquivalent dazu ist, dass die Funktion

$K\longrightarrow K,\,x\longmapsto f(-x),$

fallend ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei

$f\colon K\longrightarrow K$

eine bijektive Abbildung mit der Umkehrfunktion ${}f^{-1}$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. ${}f$ ist genau dann streng wachsend, wenn ${}f^{-1}$ streng wachsend ist.
2. ${}f$ ist genau dann streng fallend, wenn ${}f^{-1}$ streng fallend ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine streng wachsende Funktion

$\varphi \colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,$

deren Werte zwischen ${}0$ und ${}1$ liegen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}x<y$ Elemente in ${}K$. Zeige, dass für das arithmetische Mittel ${}{\frac {x+y}{2}}$ die Beziehung

${}x<{\frac {x+y}{2}}<y\,$

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Ein kleines Sandkorn hat ein Gewicht von ${}{\frac {13}{2757}}$ Gramm. Wie viele Sandkörner muss man nehmen, um eine Sanddüne aufzubauen, die ${}5906$ und eine halbe Tonne wiegt?

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für jede rationale Zahl ${}x$ die Abschätzungen

${}0\leq \left\lfloor 2x\right\rfloor -2\left\lfloor x\right\rfloor \leq 1\,$

gelten.

Aufgabe (1 Punkt)

Lucy Sonnenschein verbringt einen Urlaubsnachmittag in einem Seebad. Sie hält sich eineinviertel Stunden am Strand auf, dann eine halbe Stunde in der Eisdiele, dann eineinhalb Stunden im Park, sodann wieder zweidreiviertel Stunden am Strand und schließlich ${}40$ Minuten im Café. Wie lange war ihr Nachmittag?

Aufgabe (3 Punkte)

Untersuche das Monotonieverhalten der Funktion

$\mathbb {Q} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto -{\frac {3}{11}}x^{-4}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien Abbildungen

$f_{1},\ldots ,f_{n}\colon K\longrightarrow K$

gegeben, die jeweils entweder streng wachsend oder streng fallend sind. Es sei ${}k$ die Anzahl der streng fallenden Abbildungen darunter. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n}$ genau dann streng fallend ist, wenn ${}k$ ungerade ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die kleinste reelle Zahl, für die die Bernoullische Ungleichung zum Exponenten ${}n=3$ gilt.