Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 41/latex
\setcounter{section}{41}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{} und
\maabb {\varphi} {G} {H
} {}
sei ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (e_G)
}
{ = }{ e_H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\varphi(g))^{-1}
}
{ = }{ \varphi (g^{-1})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme, ob die durch die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{} gegebene Abbildung \maabbeledisp {} {\Q} {\Z } {q} { \lfloor q \rfloor } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \mid a,b,c,d \in K , \, ad -bc \neq 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge aller invertierbaren
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{.}
a) Zeige \zusatzklammer {ohne Bezug zur Determinante} {} {,} dass $M$ mit der \definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{} eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} bildet.
b) Zeige
\zusatzklammer {ohne Bezug zur Determinante} {} {,}
dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { M } { K^{\times}
} { \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} } { ad-bc
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine
\zusatzklammer {multiplikativ geschriebene} {} {}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das Potenzieren
\maabbeledisp {} {G} {G
} {x} {x^n
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{.}
Zeige, dass sich Gruppenelemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
und
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{}
$\varphi$ von $\Z$ nach $G$ über die Korrespondenz
\mathdisp {g \longmapsto ( n \mapsto g^n ) \text{ und } \varphi \longmapsto \varphi(1)} { }
entsprechen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} von \mathkor {} {(\Q,+,0)} {nach} {(\Z,+,0)} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Zeige, dass es außer der trivialen Abbildung keinen weiteren \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von \mathkor {} {(K,+,0)} {nach} {(\Z,+,0)} {} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es bezeichne
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q^{\times}
}
{ = }{ \Q \setminus \{0\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\zusatzklammer {multiplikative} {} {}
Einheitengruppe von $\Q$. Man gebe einen nichttrivialen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
von
\mathkor {} {\Q^{\times}} {nach} {(\Z,+,0)} {}
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{d \in \N_{\geq 2}}{.} Wir betrachten die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(d)
}
{ =} { \{0,1 , \ldots , d-1\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {\psi} { \Z/(d)} { \Z
} {r} { r
} {,}
\betonung{kein}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.
}
{} {}
Wie in der Vorlesung erwähnt, sind lineare Abbildungen insbesondere Gruppenhomomorphismen. Den Kern kann man wie folgt auch für einen Gruppenhomomorphismus definieren.
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den \definitionswort {Kern}{} von $\varphi$, geschrieben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ =} { \varphi^{-1}(e_H)
}
{ =} { { \left\{ g \in G \mid \varphi(g)=e_H \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es gilt auch wieder das Kernkriterium, also die Aussage, dass ein Gruppenhomomorphismus genau dann injektiv ist, wenn der Kern trivial ist, d.h. nur aus $0$ besteht.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabb {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $\varphi$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $H$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass $H$ ebenfalls kommutativ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $d$ ein Teiler von $n$. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\psi} { \Z/(n) } { \Z/(d)
} {}
derart gibt, dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}\Z & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Z/(n) & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & \Z/(d) & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert. Warum lassen sich die Reste modulo $2$ und modulo $5$ besonders einfach berechnen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {G} {und} {F} {}
\definitionsverweis {kommutative Gruppen}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
mit der zugehörigen
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
$\sim$ auf $G$. Es sei
\maabb {\varphi} {G} {F
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
\maabb {\tilde{\varphi}} {G/\sim} { F
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\tilde{\varphi} \circ p
}
{ = }{ \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 20.5, dass jede \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $\Z$ ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{\Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{,}
aber kein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} genau dann ein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist, wenn er genau zwei \definitionsverweis {Ideale}{}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle für
\mathl{n=2,3 , \ldots , 10}{} Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für die Restklassenringe $\Z/(n)$. Was haben diese Tabellen mit dem Rechnen im $n$-System zu tun?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\aufzaehlungzwei {Gibt es eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+10}{} und
\mathl{x+20}{} Primzahlen sind?
} {Gibt es mehr als eine Primzahl $x$ derart, dass auch
\mathl{x+10}{} und
\mathl{x+20}{} Primzahlen sind?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Rest von $36!$ modulo $31$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Rest von
\mathl{12!}{} modulo
\mathl{143}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Beweise durch Induktion den
kleinen Fermat,
also die Aussage, dass
\mathl{a^p -a}{} ein Vielfaches von $p$ für jede ganze Zahl $a$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{44}}{} in
\mathl{\Z/(97)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{57}}{} in
\mathl{\Z/(139)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\Z/(n)}{} der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
modulo $n$ genau dann ist, wenn
\mathkor {} {a} {und} {n} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse die lineare Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für die folgenden Körper $K$
a) $K=\Q$,
b) $K=\R$,
c)
\mathl{K=\{0,1\}}{,} der Körper mit zwei Elementen aus
Beispiel 11.4,
d)
\mathl{K=\{0,1,2,3,4,5,6\}}{,} der Körper mit sieben Elementen aus
Beispiel 41.11.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper
\mathl{K=\{0,1,2,3,4,5,6\}}{} aus
Beispiel 41.11.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 x
}
{ =} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{K=\{0,1,2,3,4,5,6\}}{} aus
Beispiel *****.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Betrag}{}{} \maabbeledisp {} {K ^{\times} } { ( K_+, \cdot,1) } {x} { \betrag { x } } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist. Was ist der Kern?
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}} { . }
Zeige, dass diese Matrix einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
von $\Q^2$ nach $\Q^2$ und ebenso von
\mathkor {} {\Z^2} {nach} {\Z^2} {}
definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf
\definitionsverweis {Injektivität}{}{}
und
\definitionsverweis {Surjektivität}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Erstelle Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für den Restklassenring $\Z/(13)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne über
\mathl{\Z/(5)}{} das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 3 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Löse das folgende
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{K=\{0,1,2,3,4,5,6\}}{} aus
Beispiel 41.11.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 \\5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
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