Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 42

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Vergleiche ${}{\sqrt[{10}]{10}}$ und ${}{\sqrt[{3}]{2}}$ .

Übungsaufgaben

Aufgabe

Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?

Aufgabe

Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?

Aufgabe

Erläutere, warum die Schreibweise ${}x^{\frac {1}{k}}$ für die ${}k$ -te Wurzel aus ${}x$ sinnvoll ist.

Aufgabe

Berechne ${}{\sqrt[{12}]{2}}^{2}\cdot {\sqrt[{6}]{2}}^{5}$ .

Aufgabe

Zeige, dass es in ${}\mathbb {Q}$ kein Element ${}x$ mit ${}x^{2}=2$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl ${}{\sqrt {p}}$ irrational ist.

Aufgabe *

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln ${}{\sqrt {n}}$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}a\in K$ . Zeige, dass die Gleichung ${}x^{2}=a$ höchstens zwei Lösungen in ${}K$ besitzt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a\in K$ . Zeige, dass die Gleichung ${}x^{2}=a$ höchstens zwei Lösungen in ${}K$ besitzt.

Aufgabe

Man konstruiere einen kommutativen Ring ${}R$ , in dem die ${}4$ mindestens drei Quadratwurzeln besitzt.

Aufgabe

Vergleiche

{\sqrt {2}}+{\sqrt {7}}\,\,{\text{  und }}\,\,{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}a,b,c\in K_{+}$ mit ${}a\geq b\geq c$ . Zeige

{}{\sqrt {a+b}}+{\sqrt {a-b}}\leq {\sqrt {a+c}}+{\sqrt {a-c}}\,.

Aufgabe

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(13)$ .

Aufgabe

Betrachte die Menge

K={\left\{p+q{\sqrt {5}}\mid p,q\in \mathbb {Q} \right\}},

wobei ${}{\sqrt {5}}$ zunächst lediglich ein Symbol ist.

a) Definiere eine Addition und eine Multiplikation auf dieser Menge derart, dass ${}{\sqrt {5}}^{2}=5$ ist und dass ${}K$ zu einem Körper wird.

b) Definiere eine Ordnung derart, dass ${}K$ zu einem angeordneten Körper wird und dass ${}{\sqrt {5}}$ positiv wird.

c) Fasse die Elemente von ${}K$ als Punkte im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ auf. Skizziere eine Trennlinie im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ , die die positiven von den negativen Elementen in ${}K$ trennt.

d) Ist das Element ${}23-11{\sqrt {5}}$ positiv oder negativ?

Aufgabe

Zeige, dass man ${}{\sqrt {3}}$ nicht in der Form

{}{\sqrt {3}}=p+q{\sqrt {2}}\,

mit ${}p,q\in \mathbb {Q}$ schreiben kann.

Zu einem kommutativen Ring ${}R$ bezeichnet man die Elemente, die bezüglich der Multiplikation ein Inverses besitzen, als Einheiten. Sie bilden eine Gruppe, die sogenannte Einheitengruppe, die mit ${}R^{\times }$ bezeichnet wird. Bei einem Körper ist einfach ${}K^{\times }=K\setminus \{0\}$ .

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Quadrate in ${}K^{\times }$ eine Untergruppe von ${}K^{\times }$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass die Quadrate in ${}K^{\times }$ eine Untergruppe von ${}K_{+}$ bilden.

Aufgabe

Es sei ${}\mathbb {Q} ^{2}\subseteq \mathbb {Q} _{+}$ die (multiplikative) Untergruppe der Quadrate innerhalb der positiven rationalen Zahlen und es sei ${}\sim$ die zugehörige Äquivalenzrelation auf ${}\mathbb {Q} _{+}$ . Zeige, dass jede Äquivalenzklasse einen eindeutigen Repräsentanten besitzt, der durch eine natürliche Zahl gegeben ist, in deren Primfaktorzerlegung jeder Primfaktor einfach ist (die ${}1$ erfülle diese Eigenschaft).

Aufgabe

Vergleiche

{\sqrt[{2}]{2}},\,{\sqrt[{3}]{3}},\,{\sqrt[{4}]{4}},\,{\sqrt[{5}]{5}}.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Es sei vorausgesetzt, dass in ${}K$ die (positiven) Elemente ${}8^{1/2}$ und ${}25^{1/3}$ existieren. Welches ist größer?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {71}}$ in ${}\mathbb {Z} /(167)$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Quadrate und ihre Quadratwurzeln im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(19)$ .

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper, ${}a\in K$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Zeige, dass die Gleichung ${}x^{n}=a$ höchstens zwei Lösungen in ${}K$ besitzt.