Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Arbeitsblatt 45/latex

\setcounter{section}{45}

\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}

\inputaufgabe
{}
{

Negiere die Aussage, dass eine Folge
\mathl{x_n}{} in einem angeordneten Körper eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist, durch Umwandlung der Quantoren.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $\Q$, die \zusatzklammer {in $\Q$} {} {} nicht \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine gegen $x$ konvergente Folge in einem angeordneten Körper. Zeige, dass jede Teilfolge ebenfalls gegen $x$ konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $K$, die eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} {n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in keinem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{.} Kann sie \definitionsverweis {beschränkt}{}{} sein?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N } , \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {Folgen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \leq} {y_n }
{ \leq} {z_n }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {Cauchy-Folgen}{}{} und es sei die Differenzfolge
\mathl{z_n-x_n}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{.} Zeige, dass dann auch
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Cauchy-Folge ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} einer \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} wieder eine Cauchy-Folge ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {angeordnete Körper}{}{} und es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in $K$, die in $L$ gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ L }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} konvergiert. Zeige, dass die Folge in $K$ eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {archimedisch angeordneter Körper}{}{.} Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {fallende}{}{,} \definitionsverweis {nach unten beschränkte}{}{} Folge. Zeige, dass
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in $K$ \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {Folgen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} mit
\mathl{x_n,y_n \in K_+}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Die Quadratfolgen
\mathl{x_n^2}{} und
\mathl{y_n^2}{} seien konvergent und es sei
\mathl{x_n^2 -y_n^2}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{.} Zeige, dass
\mathl{x_n -y_n}{} ebenfalls eine Nullfolge ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {Folgen}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} mit
\mathl{x_n,y_n \in K_+}{} für alle
\mathl{n \in \N}{.} Es sei
\mathl{x_n^2 -y_n^2}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{.} Zeige, dass
\mathl{x_n -y_n}{} ebenfalls eine Nullfolge ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{.} Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
\mathbed {x_{n_i}} {}
{i \in \N} {}
{} {} {} {,} derart gibt, dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i,j }
{ \geq }{k }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n_i} - x_{n_j} } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ k } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} in $K$. Zeige, dass die Folge eine wachsende oder eine fallende Teilfolge enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass für die Folge der \definitionsverweis {Stammbrüche}{}{} die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Die Folge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } }}{} ist eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{.} }{Die Folge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ n } }}{} ist eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{.} }{Der Körper $K$ ist \definitionsverweis {archimedisch angeordnet}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mathl{x \in K}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{ x }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für alle
\mathl{n \in \N_+}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1+x+x^2 + \cdots + x^n }
{ \leq} {2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zwei Personen, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} sitzen in der Kneipe. $A$ will nach Hause gehen, aber $B$ will noch ein Bier trinken. \anfuehrung{Na gut, dann trinken wir eben noch ein Bier, das ist aber das allerletzte}{} sagt $A$. Danach möchte $B$ immer noch Bier, aber da das vorhergehende Bier definitiv das letzte war, einigen sie sich auf ein allerletztes halbes Bier. Danach trinken sie noch ein allerletztes Viertelbier, danach noch ein allerletztes Achtelbier, u.s.w. Wie viel \anfuehrung{allerletztes Bier}{} trinken sie insgesamt?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ sei durch einen Anfangswert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ \in }{K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und durch die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1} }
{ =} {- x_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$ sei durch einen Anfangswert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ \in }{ K_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und durch die Rekursionsvorschrift
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1} }
{ =} { { \left( x_n \right) }^{-1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x \in K$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n }
{ \defeq} { x_n -x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene Folge eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{k = 1}^n { \frac{ 1 }{ k(k+1) } } }
{ =} { { \frac{ n }{ n+1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Reihe
\mathl{\sum_{k = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ k(k+1) } }}{} in einem \definitionsverweis {archimedisch angeordneten Körper}{}{} \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme den Grenzwert.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Folge}{}{,} die nicht konvergiert, aber eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {Teilfolge}{}{} enthält.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} und es sei
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} in $K$. Zeige, dass die Summenfolge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z_n }
{ =} { x_n+y_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$. Zeige, dass es eine \definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
\mathl{x_{n_i},\, i \in \N}{,} mit der Eigenschaft gibt, dass zu jedem
\mathl{k \in \N_+}{} für alle
\mathl{i,j \geq k}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_{n_i} - x_{n_j} } }
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ k } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

Für die folgende Aufgabe ist Aufgabe 45.11 hilfreich.


\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mathl{c \in K_+}{.} Es seien
\mathl{x_0,y_0 \in K_+}{} Startwerte und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {bzw.} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} die zugehörigen \definitionsverweis {Heron-Folgen}{}{} zur Berechnung von $\sqrt{c}$. Zeige, dass
\mathl{x_n-y_n}{} eine \definitionsverweis {Nullfolge}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die Reihe
\mathl{\sum_{k = 1}^\infty { \frac{ 1 }{ k^2 } } =1 + { \frac{ 1 }{ 4 } } + { \frac{ 1 }{ 9 } } + { \frac{ 1 }{ 16 } } + \ldots}{} \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.

}
{} {}